Giả sử có một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một đoạn

Câu hỏi số 728829:

Vận dụng

Giả sử có một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một đoạn \(AB = 5km\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một đoạn là \(7km\)( biết \(AB\) vuông góc với \(BC\)). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4km/h\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6km/h\)(xem hình vẽ ở dưới đây). Khi đó độ dài đoạn \(BM\) để người đó đến kho nhanh nhất có dạng \(a\sqrt b \)(với \(b\)là số nguyên tố) thì tích \(a.b\) bằng?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 10

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728829

Giải chi tiết

Đáp số: \(10\)

Trước tiên, ta xây dựng hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số tính thời gian người canh hải đăng phải đi.

Đặt \(BM = x(km)\), điều kiện \(\left( {0 \le x \le 7} \right)\) thì ta được: \(MC = 7 - x,\,\,\,AM = \sqrt {{x^2} + 25} \).

Theo đề bài, Người canh hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6km/h\), như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định như sau:

\(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \dfrac{{7 - x}}{6} = \dfrac{{3\sqrt {{x^2} + 25} - 2x + 14}}{{12}}\) với \(x \in \left[ {0;7} \right]\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).

\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{12}}\left( {\dfrac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2} \right).\)

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3x - 2\sqrt {{x^2} + 25} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} + 25} = 3x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{x^2} = 100\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\sqrt 5 \\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 .\end{array}\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;7} \right]\) và ta có:

\(f\left( 0 \right) = \dfrac{{29}}{{12}}\,\,,\,\,f\left( {2\sqrt 5 } \right) = \dfrac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}},\,\,f\left( 7 \right) = \dfrac{{\sqrt {74} }}{4}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) là \(\dfrac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}}\)tại \(x = 2\sqrt 5 .\)

Khi đó thời gian đi là ít nhất và điểm \(M\) nằm cách \(B\) một đoạn \(BM = x = 2\sqrt 5 .\)

Đáp án cần điền là: 10

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.