Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;\,10} \right]\) để

Câu hỏi số 728831:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;\,10} \right]\) để bất phương trình sau: \({\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\) nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 11

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:728831

Giải chi tiết

Đáp số: \(11\)

Ta có:

\({\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {2^x}{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} > \left( {m + 1} \right){2^x}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} > m + 1\)

Đặt \(t = {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}\), \(t > 0\) \( \Rightarrow {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{t}\).

Bất phương trình đã cho trở thành:

\(t + \left( {2 - m} \right).\dfrac{1}{t} > m + 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}} > m\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - t + 2}}{{t + 1}}\) trên khoảng \(\left( {0;\, + \propto } \right)\),

ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( t \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 0\end{array} \right.\).

Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì \(m < 1\).

Suy ra trong đoạn \(\left[ { - 10;\,10} \right]\) có tất cả \(11\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: 11

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.