Cho hình chữ nhật \(ABCD\,\,(AB > AD)\), gọi M là trung điểm cạnh AB. Từ M kẻ MN vuông góc với

Câu hỏi số 731670:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD\,\,(AB > AD)\), gọi M là trung điểm cạnh AB. Từ M kẻ MN vuông góc với CD tại \({\rm{N}}\,\,({\rm{N}}\) thuộc CD\()\).

1) Chứng minh tứ giác \(AMND\) là hình chữ nhật.

2) Trên tia DM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của của đoạn thẳng DK. Chứng minh tứ giác ADBK là hình bình hành và tam giác AKC cân.

3) Gọi I là trung điểm của AK. Tia phân giác của góc AIM cắt AM tại E, tia phân giác của góc KIM cắt MK ở F. Chứng minh EF song song với BD.

Xem lời giải

Câu hỏi:731670

Phương pháp giải

1) Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

2) Chứng minh tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Chứng minh tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên là tam giác cân.

3) Dựa vào tính chất đường phân giác để chứng minh các cặp đoạn thẳng tỉ lệ.

Giải chi tiết

1) Tứ giác AMND có:
\(\angle A = \angle D = 90^\circ \) (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)
\(\angle N = 90^\circ \) (MN vuông góc với CD )
Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

2) Tứ giác ADBK có hai đường chéo \({\rm{AB}},{\rm{DK}}\) cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên \({\rm{ADBK}}\) là hình bình hành

Suy ra \({\rm{AD}} = {\rm{BK}}\)
Mà \({\rm{AD}} = {\rm{BC}}(\)hai cạnh đối của hình chữ nhật) nên \({\rm{BK}} = {\rm{BC}}\)
Tứ giác ADBK là hình bình hành nên AD song song với BK
Tứ giác ADCB là hình chữ nhật nên AD song song với BC
Suy ra 3 điểm \({\rm{C}},{\rm{B}},{\rm{K}}\) thẳng hàng.
Tam giác KAC có AB là đường cao và đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác KAC cân tại A.

3) IE là phân giác của góc MIA nên \(\dfrac{{EM}}{{EA}} = \dfrac{{IM}}{{IA}}\)
IF là phân giác của góc MIK nên \(\dfrac{{FM}}{{FK}} = \dfrac{{IM}}{{IK}}\)
Vì \({\rm{IA}} = {\rm{IK}}\) nên \(\dfrac{{{\rm{EM}}}}{{{\rm{EA}}}} = \dfrac{{{\rm{FM}}}}{{{\rm{FK}}}}\) suy ra \({\rm{EF}}\) song song với AK

Mà AK song song với BD (do tứ giác AKBD là hình bình hành) nên suy ra EF song song với BD.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.