Trong không gian với hệ trục \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + by + cz + d =

Câu hỏi số 735402:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + by + cz + d = 0\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + 2y + 3z + 4 = 0\) và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z - 7 = 0,\) \(\left( Q \right):x - y + z + 1 = 0.\) Khi đó \(d\) bằng

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:735402

Giải chi tiết

Ta có vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta \right),\left( P \right),\left( Q \right)\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;3} \right),\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;3;1} \right),\,\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right]} \right] = \left( { - 8;16; - 8} \right) = - 8\left( {1; - 2;1} \right)\).

Gọi \(A\left( {x;y;z} \right) \in d\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Khi đó toạ độ điểm \(A\) thoả mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + z - 7 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\).

Cho \(x = 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3y + z - 7 = 0\\ - y + z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = 1\end{array} \right.\), khi đó \(A\left( {0;2;1} \right)\)

Do \(\left( \alpha \right)\) chứa giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\left( {0;2;1} \right)\).

Phương trình \(\left( \alpha \right):x - 2\left( {y - 2} \right) + z - 1 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + z + 3 = 0\).

Vậy \(d = 3\).

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.