Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.DEF\) biết rằng \(AB = 6\),\(AD = 2\). Gọi ba

Câu hỏi số 735509:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.DEF\) biết rằng \(AB = 6\),\(AD = 2\). Gọi ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm \(DE\), \(DF\), \(BC\). Lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình dưới. Gọi điểm \(S\) thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {SA} + 2\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \vec 0\). Tính khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\), kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:735509

Giải chi tiết

Ta có:

\(P\left( {0\,;0\,;0} \right)\),\(A\left( {3\sqrt 3 \,;0\,;0} \right)\), \(B\left( {0\,;3\,;0} \right)\), \(C\left( {0\,; - 3\,;0} \right)\),

\(E\left( {0\,;3\,;2} \right)\), \(F\left( {0\,; - 3\,;2} \right)\), \(D\left( {3\sqrt 3 \,;0\,;2} \right)\)

Suy ra \(M\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\,;\dfrac{3}{2}\,;2} \right)\), \(N\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\,;\dfrac{{ - 3}}{2}\,;2} \right)\).

Ta có:

\(\left[ {\overrightarrow {PM} ,\overrightarrow {PN} } \right] = \left( {6\,;0\,;\dfrac{{ - 9\sqrt 3 }}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \vec n = \left( {4\,;0\,; - 3\sqrt 3 } \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là \(4x - 3\sqrt 3 z = 0\).

Gọi \(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm cạnh \(AC\), \(IB\)

Có: \(I\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\,;\dfrac{{ - 3}}{2}\,;0} \right)\), \(J\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}\,;\dfrac{3}{4}\,;0} \right)\).

Theo đầu bài:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + 2\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {SI} + 2\overrightarrow {SB} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {SJ} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow S \equiv J\end{array}\).

Do đó \(S\left( {\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}\,;\dfrac{3}{4}\,;0} \right)\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là \(d = 3\sqrt 3 \approx 5,2.\)

Đáp án cần điền là: 5,2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.