Tìm số thực \(a\) để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm \(y=\dfrac{x^2+2 a

Câu hỏi số 738992:

Vận dụng

Tìm số thực \(a\) để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm \(y=\dfrac{x^2+2 a x+3 a^2}{1+a^6}\) và \(y=\dfrac{a^2-a x}{1+a^6}\) có diện tích lớn nhất.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:738992

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(\dfrac{x^2+2 a x+3 a^2}{1+a^6}=\dfrac{a^2-a x}{1+a^6} \)

\(\Leftrightarrow x^2+3 a x+2 a^2=0\)

\(\Leftrightarrow(x+a)(x+2 a)=0\) \( \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-a \\ x=-2 a \end{array}\right.\)

Nếu \(a=0\) thì diện tích hình phẳng \(S=0\).

+ Nếu \(a>0\) thì

\(S=\int_{-2 a}^{-a}\left|\dfrac{x^2+3 a x+2 a^2}{1+a^6}\right| \mathrm{d} x=-\int_{-2 a}^{-a} \dfrac{x^2+3 a x+2 a^2}{1+a^6} \mathrm{~d} x=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{a^3}{1+a^6}\).

+ Nếu \(a<0\) thì

\(S=\int_{-a}^{-2 a}\left|\dfrac{x^2+3 a x+2 a^2}{1+a^6}\right| \mathrm{d} x=-\int_{-a}^{-2 a} \dfrac{x^2+3 a x+2 a^2}{1+a^6} \mathrm{~d} x=-\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{a^3}{1+a^6}\).

Do đó, với \(a \neq 0\) thì \(S=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{|a|^3}{1+|a|^6} \leq \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{|a|^3}{2|a|^3}=\dfrac{1}{12}\).

Dấu " \(=\) " xảy ra khi và chi khi \(|a|^3=1 \Leftrightarrow a= \pm 1\).

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm đã cho có diện tích lớn nhất khi \(a=1\).

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.