Có bao nhiêu điểm \(N\) thuộc hypebol \((H): \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) sao cho \(N\)

Câu hỏi số 739200:

Vận dụng

Có bao nhiêu điểm \(N\) thuộc hypebol \((H): \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) sao cho \(N\) nhìn hai tiêu điểm của \((H)\) dưới một góc vuông.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:739200

Giải chi tiết

Từ phương trình chính tắc của hypebol \((\mathrm{H})\) ta có \(a=4, b=3, c=5\).
Hypebol \((H)\) có tiêu cự là \(F_1 F_2=2 c=10\).
Gọi \(N\left(x_0 ; y_0\right)\) là điểm cần tìm.

Ta có \(N \in(H)\) nên \(\cfrac{x_0^2}{16}-\cfrac{y_0^2}{9}=1\).
Theo đề bài, ta có \(\Delta N F_1 F_2\) vuông tại \(N\), có \(O\) là trung điểm của \(F_1 F_2\) (với \(O\) là gốc tọa độ) nên

\(ON=\dfrac{F_1 F_2}{2}=c=5 \Rightarrow O N^2=25\)

\(\Rightarrow x_0^2+y_0^2=25 \Rightarrow y_0^2=25-x_0^2\)

Thay (2) vào (1) ta được

\(\dfrac{x_0^2}{16}-\dfrac{25-x_0^2}{9}=1 \Leftrightarrow 9 x_0^2-400+16 x_0^2=144 \)

\(\Leftrightarrow 25 x_0^2=544 \Leftrightarrow x_0^2=\dfrac{544}{25} \)

\(\Leftrightarrow x_0=\dfrac{4 \sqrt{34}}{5}\) hoặc \(x_0=\dfrac{-4 \sqrt{34}}{5}.\)

Từ đó tính được:

\(y_0^2=\dfrac{81}{25} \Rightarrow y_0=\dfrac{9}{5}\) hoặc \(y_0=\frac{-9}{5}\).
Vậy có bốn điểm \(N\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left(-\dfrac{4 \sqrt{34}}{5} ;-\dfrac{9}{5}\right),\left(-\dfrac{4 \sqrt{34}}{5} ; \dfrac{9}{5}\right),\) \(\left(\dfrac{4 \sqrt{34}}{5} ;-\dfrac{9}{5}\right),\left(\dfrac{4 \sqrt{34}}{5} ; \dfrac{9}{5}\right) .\)

Đáp án cần điền là: 4

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.