Có bao nhiêu điểm \(N\) thuộc hypebol \((H): \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) sao cho \(N\)

Câu hỏi số 739200:

Vận dụng

Có bao nhiêu điểm \(N\) thuộc hypebol \((H): \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) sao cho \(N\) nhìn hai tiêu điểm của \((H)\) dưới một góc vuông.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:739200

Giải chi tiết

Từ phương trình chính tắc của hypebol \((\mathrm{H})\) ta có \(a=4, b=3, c=5\).
Hypebol \((H)\) có tiêu cự là \(F_1 F_2=2 c=10\).
Gọi \(N\left(x_0 ; y_0\right)\) là điểm cần tìm.

Ta có \(N \in(H)\) nên \(\cfrac{x_0^2}{16}-\cfrac{y_0^2}{9}=1\).
Theo đề bài, ta có \(\Delta N F_1 F_2\) vuông tại \(N\), có \(O\) là trung điểm của \(F_1 F_2\) (với \(O\) là gốc tọa độ) nên

\(ON=\dfrac{F_1 F_2}{2}=c=5 \Rightarrow O N^2=25\)

\(\Rightarrow x_0^2+y_0^2=25 \Rightarrow y_0^2=25-x_0^2\)

Thay (2) vào (1) ta được

\(\dfrac{x_0^2}{16}-\dfrac{25-x_0^2}{9}=1 \Leftrightarrow 9 x_0^2-400+16 x_0^2=144 \)

\(\Leftrightarrow 25 x_0^2=544 \Leftrightarrow x_0^2=\dfrac{544}{25} \)

\(\Leftrightarrow x_0=\dfrac{4 \sqrt{34}}{5}\) hoặc \(x_0=\dfrac{-4 \sqrt{34}}{5}.\)

Từ đó tính được:

\(y_0^2=\dfrac{81}{25} \Rightarrow y_0=\dfrac{9}{5}\) hoặc \(y_0=\frac{-9}{5}\).
Vậy có bốn điểm \(N\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left(-\dfrac{4 \sqrt{34}}{5} ;-\dfrac{9}{5}\right),\left(-\dfrac{4 \sqrt{34}}{5} ; \dfrac{9}{5}\right),\) \(\left(\dfrac{4 \sqrt{34}}{5} ;-\dfrac{9}{5}\right),\left(\dfrac{4 \sqrt{34}}{5} ; \dfrac{9}{5}\right) .\)

Đáp án cần điền là: 4

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10