Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 84 đến 86     Trong không

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 84 đến 86

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {0;2;2} \right)\), \(B\left( {1;2;4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z - 1 = 0\).

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Thông hiểu

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Tính \(\sin \varphi \).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:740579
Giải chi tiết

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{a_{AB}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).

\(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) nên:

\(\sin \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{a_{AB}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_{AB}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.1 + 0.\left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (P) sao cho khoảng cách từ B đến \(\left( \alpha  \right)\) bằng \(\sqrt 2 \). Biết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có dạng \(ax + by + cz + d = 0\), trong đó \(a,b,c \in {\mathbb{N}^*}\) và \(a \le 7\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b + c\).

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:740580
Giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua \(A\left( {0;2;2} \right)\) nên có dạng \(Ax + B\left( {y - 2} \right) + C\left( {z - 2} \right) = 0\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)\), có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left( {A;B;C} \right)\). Ta có \(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz - 2B - 2C = 0\,\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với (P) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = 0 \Leftrightarrow A - 2B - 2C = 0 \Leftrightarrow A = 2B + 2C\).

Do đó, \(\left( \alpha  \right):\left( {2B + 2C} \right)x + By + Cz - 2B - 2C = 0\,\).

Khoảng cách từ \(B\left( {1;2;4} \right)\) đến \(\left( \alpha  \right)\) là \({d_{\left[ {B,\left( \alpha  \right)} \right]}} = \dfrac{{\left| {\left( {2B + 2C} \right).1 + B.2 + C.4 - 2B - 2C} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2B + 2C} \right)}^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Theo đề ta có \({d_{\left[ {B,\left( \alpha  \right)} \right]}} = \sqrt 2  \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {2B + 2C} \right).1 + B.2 + C.4 - 2B - 2C} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2B + 2C} \right)}^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2B + 4C} \right|}}{{\sqrt {5{B^2} + 5{C^2} + 8BC} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow {\left( {2B + 4C} \right)^2} = 2.\left( {5{B^2} + 5{C^2} + 8BC} \right) \Leftrightarrow 6{C^2} = 6{B^2} \Leftrightarrow B = C \vee B =  - C\).

Hiển nhiên \(C \ne 0\) vì nếu \(C = 0\) thì \(A = B = C = 0\) (vô lý).

Trường hợp 1: \(B = C\). Khi đó:

\(\left( \alpha  \right):\left( {2B + 2C} \right)x + By + Cz - 2B - 2C = 0\, \Leftrightarrow \left( {2C + 2C} \right)x + Cy + Cz - 2C - 2C = 0 \Leftrightarrow 4x + y + z - 4 = 0\) (thỏa)

Khi đó \(a = 4,b = 1,c = 1\) nên \(T = a + b + c = 4 + 1 + 1 = 6\).

Trường hợp 2: \(B =  - C\). Khi đó:

\(\left( \alpha  \right):\left( {2B + 2C} \right)x + By + Cz - 2B - 2C = 0\, \Leftrightarrow \left( { - 2C + 2C} \right)x - Cy + Cz + 2C - 2C = 0 \Leftrightarrow  - y + z = 0 \Leftrightarrow y - z = 0\) (không thỏa).

Vậy \(T = 6\).

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Gọi d là đường thẳng qua A, song song với (P) và cách B một khoảng nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:740581
Giải chi tiết

Vì đường thẳng d qua A và song song với mặt phẳng (P) nên d luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Đó là mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua A và song song với (P). Khi đó, khoảng cách từ B đến \(\left( Q \right)\) là một số không đổi.

\(d\)//\(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{a_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và đường thẳng d. Khi đó \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = BH\) và \(d\left( {B,d} \right) = BK\).

Ta có \(BK \ge BH\) nên \(Min\,d\left( {B,d} \right) = BH\), đạt được khi \(K \equiv H\).

Khi đó, \(d \equiv AH\) suy ra \(d \subset \left( {ABH} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{a_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( {ABH} \right)}}} \).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( {ABH} \right)}}}  \bot \overrightarrow {BH}  \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {ABH} \right)}}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \\\overrightarrow {{n_{\left( {ABH} \right)}}}  \bot \overrightarrow {AB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {ABH} \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 4; - 4;2} \right)\). Chọn \(\overrightarrow {{n_{\left( {ABH} \right)}}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\)

Do \(\overrightarrow {{a_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{a_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{\left( {ABH} \right)}}} \) nên \(\overrightarrow {{a_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( {ABH} \right)}}} } \right] = \left( {6; - 3;6} \right)\). Chọn \(\overrightarrow {{a_d}}  = \left( {2; - 1;2} \right)\)

Mặt khác, đường thẳng d qua điểm \(A\left( {0;2;2} \right)\) nên d có phương trình chính tắc là \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn