Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng 2m. Người ta thiết kế

Câu hỏi số 741034:

Vận dụng

Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng 2m. Người ta thiết kế một hình lục giác đều và sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng \(x\) (mét) với \(0 < x < \dfrac{2}{3}\). Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn để thu được hình hợp bởi một lục giác đều và sáu hình chữ nhật. Sau đó gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ duới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối (\({\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\)) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:741034

Giải chi tiết

Ta có độ dài cạnh đáy lục giác là \(x\), \(0 < x < \dfrac{2}{3}\)

Ký hiệu điểm như hình vẽ:

\(MN = GL = GH = HI = IJ = JK = KL = x\)

\( \Rightarrow MA = NB = \dfrac{{AB - MN}}{2} = \dfrac{{2 - x}}{2}\)

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp

\( \Rightarrow CO \bot AB = P{\rm{ }}\)là trung điểm AB

\( \Rightarrow CP = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow OP = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3},OC = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có: \(DE = 3GL = 3x\)

\( \Rightarrow FQ = \dfrac{{3x\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow OQ = \dfrac{1}{3}FQ = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow PQ = OP - OQ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\)

Diện tích đáy là: \(6 \cdot \dfrac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {x^2}}}{2}\)

Thể tích khối lăng trụ là:

\(V = \dfrac{{3\sqrt 3 {x^2}}}{2} \cdot \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

\( = \dfrac{{9{x^2}}}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{2}} \right)\)\( = \dfrac{3}{4} \cdot {x^2} \cdot (2 - 3x)\)\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2}x \cdot \dfrac{3}{2}x \cdot (2 - 3x)\)

\( \Rightarrow V \le \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{{27}}{\left( {\dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{2}x + 2 - 3x} \right)^3}\)

\( \Rightarrow V \le \dfrac{8}{{81}}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{3}{2}x = 2 - 3x \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{9}\)

Vậy \(V \le 0,0987\left( {{m^3}} \right) = 98,8\left( {d{m^3}} \right)\).

Đáp án cần điền là: 98,8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.