Một khối cấu trúc kỳ lạ được phát hiện bởi nhóm nhà khoa học trong
Một khối cấu trúc kỳ lạ được phát hiện bởi nhóm nhà khoa học trong một chuyến thám hiểm. Khối cấu trúc này bao gồm: Mặt đáy là hình vuông ABCD với các đỉnh: \(A(5;5;0)\), \(B(-5;5;0)\),\(C(-5;-5;0)\), \(D(5; -5;0)\). 8 mặt bên là các tam giác. Một mặt vuông khác EFGH với các đỉnh: \(E(2;0;4)\) ,\(F(0;2;4)\), \(G(-2;0;4)\), \(H(0;-2;4)\). Tâm \(S\) của ABCD trùng với gốc tọa độ \(O\) và toàn bộ hình khối đối xứng qua các mặt phẳng \(Oxz\) và \(Oyz\). Khối được chia thành 9 hình chóp, trong đó: Hình chóp S.ABF có thể tích là \(\dfrac{{100}}{3}\), hình chóp S.HDE có thể tích là \(\dfrac{{40}}{3}\). (Nguồn: abiturloesung.de; Abitur bayern 2021 Geometrie VI)
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| a) Mặt phẳng \((ABF)\) có phương trình: \(4y + 3z - 20 = 0\). |
||
| b) Góc giữa mặt phẳng chứa tam giác ABF và mặt phẳng đáy ABCD là \({60^o}\). | ||
| c) Tọa độ tâm của mặt cầu đi qua cả 8 đỉnh của khối là \(M\left( {0;0; - 3,75} \right)\). | ||
| d) Thể tích toàn bộ khối là \(\dfrac{{592}}{3}\) (đvtt). |
Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ
Quảng cáo
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận \(\dfrac{1}{10} \cdot[\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{B F}]\) làm vectơ pháp tuyến.
b) Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: \(\cos \alpha=\dfrac{\vec{n} \vec{k}}{|\vec{n}| \cdot|\vec{k}|}\) với \(\vec{n}, \vec{k}\) là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
c) Gọi \(M\) là tọa độ tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của khối. Giải phương trình \(|\overrightarrow{M A}|^2=|\overrightarrow{M E}|^2\) tìm toạ độ điểm M .
d) Khối được chia thành 9 hình chóp, thể tích của khối bằng tổng thể tích từng hình chóp.
a) Đúng: Có \(\overrightarrow {AF} \left( { - 5; - 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {BF} \left( {5; - 3;4} \right)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABF)\).
Có \(\left[ {\overrightarrow {AF} ,\overrightarrow {BF} } \right] = \left( {0; 40;30} \right)\)
Mặt phẳng \((ABF)\) đi qua \(A(5,5,0)\)và nhận \(\overrightarrow n \left( {0;4; 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng \((ABF)\): \(4y + 3z - 20 = 0\).
b) Sai: Mặt phẳng đáy \(ABCD\) có phương trình \(z = 0\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k (0;0;1).\)
Gọi góc giữa hai mặt phẳng \((ABF)\) và \((ABCD)\) là \(\alpha \), ta có
\(\begin{array}{l}\cos \alpha = \dfrac{{\overrightarrow n .\overrightarrow k }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \dfrac{{0 + 0 + 3}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \dfrac{3}{5}\\ \Rightarrow \alpha \approx 53,{1^o}.\end{array}\)
c) Đúng: Gọi \(M\) là tọa độ tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của khối.
Toàn bộ hình khối đối xứng qua các mặt phẳng \(Oxz\) và \(Oyz\) nên \(M\)nằm trên trục \(Oz.\)
Hay \(M(0;0;z).\) Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} \left( {5;5; - z} \right) \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {MA} } \right|^2} = {5^2} + {5^2} + {z^2} = {z^2} + 50.\\\overrightarrow {ME} (2;0;4 - z) \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {ME} } \right|^2} = {2^2} + {(4 - z)^2} = {z^2} - 8z + 20.\end{array}\)
M là tâm hình cầu đi qua A và E nên
\(\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {ME} } \right|^2}\\ \Leftrightarrow {z^2} + 50 = {z^2} - 8z + 20\\ \Leftrightarrow z = - 3,75\end{array}\)
Vậy \(M(0;0; - 3,75).\)
d) Đúng: Khối được chia thành 9 hình chóp, trong đó có:
- 4 hình chóp có cùng thể tích với hình chóp S.ABF.
- 4 hình chóp có cùng thể tích với hình chóp S.HDE.
- 1 hình chóp S.EFGH.
Tích thể tích hình chóp S.EFGH:
Gọi I là trung điểm EG, có \(I(0;0;4) \Rightarrow SI = 4.\)
\(\overrightarrow {EF} (-2;2;0) \Rightarrow EF = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 .\)
Diện tích đáy EFGH là: \({S_{EFGH}} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\)
Thể tích chóp S.EFGH: \({V_{S.EFGH}} = \dfrac{1}{3}.SI.{S_{EFGH}} = \dfrac{1}{3}.4.8 = \dfrac{{32}}{3}.\)
Thể tích của cả hình khối là:
\(V = 4.\dfrac{{100}}{3} + 4.\dfrac{{40}}{3} + \dfrac{{32}}{3} = \dfrac{{592}}{3}\)(đvtt).
Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
