Cho hai dãy số \(({x_n});({y_n})\) xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 3 \\{y_1} =

Câu hỏi số 743193:

Vận dụng

Cho hai dãy số \(({x_n});({y_n})\) xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt 3 \\{y_1} = \sqrt 3 \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{x_n} = {x_{n - 1}} + \sqrt {1 + x_{n - 1}^2} \\{y_n} = \dfrac{{{y_{n - 1}}}}{{1 + \sqrt {1 + y_{n - 1}^2} }}\end{array} \right.\), \(\forall n \ge 2\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(1 < {x_n}{y_n} < 2,{\rm{ }}\forall n \ge 2.\)

B. \(3 < {x_n}{y_n} < 4,{\rm{ }}\forall n \ge 2.\)

C. \(4 < {x_n}{y_n} < 5,{\rm{ }}\forall n \ge 2.\)

D. \(2 < {x_n}{y_n} < 3,{\rm{ }}\forall n \ge 2.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:743193

Giải chi tiết

\({x_1} = \cot \dfrac{\pi }{6} = \sqrt 3 ;\cot \dfrac{\pi }{{2.6}} = 2 + \sqrt 3 = 2\)

\({x_2} = \cot \dfrac{\pi }{6} + \sqrt {1 + {{\cot }^2}\dfrac{\pi }{6}} = \dfrac{{\cos \dfrac{\pi }{6}}}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} + \dfrac{1}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} = \dfrac{{\cos \dfrac{\pi }{6} + 1}}{{\sin \dfrac{\pi }{6}}} = \cot \dfrac{\pi }{{12}}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được \({x_n} = \cot \dfrac{\pi }{{{2^{n - 1}}.6}}\)

Tương tự \({y_1} = \tan \dfrac{\pi }{3};{y_2} = \tan \dfrac{\pi }{{2.3}} \Rightarrow {y_n} = \tan \dfrac{\pi }{{{2^{n - 1}}.3}}\)

Đặt \(\dfrac{\pi }{{{2^{n - 1}}.6}} = \alpha \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_n} = \cot \alpha \\{y_n} = \tan 2\alpha \end{array} \right. \Rightarrow {x_n}.{y_n} = \dfrac{1}{{\tan \alpha }}.\dfrac{{\tan \alpha + \tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{2}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\)

Do \(n \ge 2 \Rightarrow 0 \le \alpha \le \dfrac{\pi }{{{2^{1 - 1}}.6}} = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow 0 < \tan \alpha < \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow 1 < 1 - {\tan ^2}\alpha < 1\)

Vậy \(2 < {x_n}{y_n} < 3\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.