Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng + + ≤ 1

Câu hỏi số 749:

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng $\frac{x+1}{x^{2}+3}$ + $\frac{y+1}{y^{2}+3}$ + $\frac{z+1}{z^{2}+3}$ ≤ 1

A. x=y=z=0

B. x=y=z=-1

C. x=y=z=2

D. x=y=z=-2

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749

Giải chi tiết

Ta có $\frac{x+1}{x^{2}+3}$ + $\frac{y+1}{y^{2}+3}$ + $\frac{z+1}{z^{2}+3}$ ≤ 1

<=> (1- $\frac{2x+2}{x^{2}+3}$ ) + (1- $\frac{2y+2}{y^{2}+3}$ ) + (1- $\frac{2z+2}{z^{2}+3}$ ) ≥ 1

<=> $\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+3}$ + $\frac{(y-1)^{2}}{y^{2}+3}$ + $\frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3}$ ≥ 1 (*)

Sử dụng giả thiết x+y+z=0 và áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

x²+3= $\frac{2}{3}$ x²+ $\frac{1}{3}$ (y+z)²+3

≤ $\frac{2}{3}$ x²+ $\frac{2}{3}$ (y²+z²)+3= $\frac{1}{3}$ (2x²+2y²+2z²+9)

Suy ra $\frac{(x-1)^{2}}{x^{^{2}}+3}$ ≥ $\frac{3(x-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}$

Tương tự ta cũng có

$\frac{(y-1)^{2}}{y^{2}+3}$ ≥ $\frac{3(y-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}$ ;

$\frac{(z-1)^{2}}{z^{2}+3}$ ≥ $\frac{3(z-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}$

Suy ra VT(*) ≥ $\frac{3(x-1)^{2}+3(y-1)^{2}+3(z-1)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}$

= $\frac{3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+9}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}$

≥ $\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+9}$ = 1.

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=0

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.