Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3; - 4} \right)\). Tìm

Câu hỏi số 749948:

Thông hiểu

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {3; - 4} \right)\). Tìm toạ độ của điểm \(C\) thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất.

A. \(\left( {0;1} \right)\)

B. \(\left( {2; - 1} \right)\)

C. \(\left( {0; - 1} \right)\)

D. \(\left( { - 1;0} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749948

Phương pháp giải

Gọi \(C\left( {0;c} \right) \in Oy\). Tính \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right|\) và giải bpt tìm c.

Giải chi tiết

Xét điểm \(C\left( {0;c} \right) \in Oy\).

Khi đó \(\overrightarrow {CA} = \left( {1;2 - c} \right)\) và \(\overrightarrow {CB} = \left( {3; - 4 - c} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \left( {4; - 2 - 2c} \right)\), suy ra \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt {16 + 4{{(1 + c)}^2}} \).

Do \({(1 + c)^2} \ge 0\forall c\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(c = - 1\), nên \(\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| \ge 4\), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(c = - 1\).

Vậy với điểm \(C\left( {0; - 1} \right) \in Oy\) thì vectơ \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất.

Cách 2. Với mỗi điểm \(C\) đều có \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {Cl} \), với I là trung điểm \(AB\). Suy ra vectơ \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ \(\overrightarrow {CI} \) có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do \(C\) thuộc trục tung, nên \(C\) là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung. Khái quát, ta có bài toán tìm được điểm \(C\) thuộc đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) sao cho vectơ \(\alpha \overrightarrow {CA} + \beta \overrightarrow {CB} \) có độ dài ngắn nhất, với \(\alpha ,\beta \) là hai hằng số cho trước.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.