Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tọa độ các đỉnh

Câu hỏi số 750673:

Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tọa độ các đỉnh \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {0;a;0} \right)\), \(C\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};0} \right)\) và \(A'\left( {0;0;2a} \right)\). Gọi \(D\) là trung điểm cạnh \(BB'\) và \(M\) di động trên cạnh \(AA'\). Diện tích nhỏ nhất của tam giác \(MDC'\) là.

A. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

B. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 5 }}{4}\).

C. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\).

D. \(\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:750673

Phương pháp giải

\({S_{MDC'}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {DC'} ,\overrightarrow {DM} } \right]} \right|\)

Giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'} \Rightarrow C'\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{a}{2};2a} \right)\), \(D\left( {0;a;a} \right)\) và \(M\left( {0;0;t} \right){\rm{ }}\left( {0 < t < 2a} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {DC'} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}; - \dfrac{a}{2};a} \right)\), \(\overrightarrow {DM} = \left( {0; - a;t - a} \right)\).

Chọn \(a = 1 \Rightarrow \overrightarrow {DC'} \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}, - \dfrac{1}{2},1} \right),\overrightarrow {DM} \left( {0, - 1,t - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {DC'} ,\overrightarrow {DM} } \right] = \left( { - \dfrac{1}{2}t + \dfrac{3}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 - t} \right); - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Vì vậy \({S_{MDC'}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {DC'} ,\overrightarrow {DM} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2}t + \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}{{\left( {t - 1} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{4}\sqrt {4{t^2} - 12t + 15} \ge \dfrac{1}{4}\sqrt {4{{\left( {t - \dfrac{3}{2}} \right)}^2} + 6} \).

Suy ra \(\min {S_{\Delta MDC'}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.