Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = BC = a\) và \(CC' = 2a\). Gọi \(M\)
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = BC = a\) và \(CC' = 2a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(AA'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B'D'\) và \(MN\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Cách 1: Tính trực tiếp bằng cách đưa về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ và sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cách 1. Gọi \(P\) là trung điểm \(CD\), \(I = MP \cap AD\), \(J = IN \cap DD'\), \(K = AC \cap MP\).
Ta có \(MP{\rm{//}}BD \Rightarrow MP{\rm{//}}B'D'\)
\( \Rightarrow d\left( {B'D';MN} \right) = d\left[ {B'D';\left( {MNP} \right)} \right] = d\left[ {D';\left( {MNP} \right)} \right]\)
Lại có \(d\left[ {D';\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{{D'J}}{{DJ}}d\left[ {D;\left( {MNP} \right)} \right] = 5\).
Mặt khác \(d\left[ {D;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{{DI}}{{AI}}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{1}{3}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right]\).
Dễ thấy \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {NAK} \right) \bot \left( {MNP} \right)\\\left( {NAK} \right) \cap \left( {MNP} \right) = AK\\AH \bot NK{\rm{ }}\left( {H \in NK} \right){\rm{ trong }}\left( {NAK} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow AH \bot \left( {MNP} \right) \Rightarrow d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = AH\)
Suy ra \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{5}{3}d\left[ {A;\left( {MNP} \right)} \right] = \dfrac{5}{3}AH\)
với \(AN = \dfrac{{AA'}}{2} = a\) ; \(AK = \dfrac{3}{4}\sqrt 2 AB = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).
Vậy \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{5}{3}AH = \dfrac{5}{3}.\dfrac{{AN.AK}}{{\sqrt {A{N^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{5}{3}.\dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}.a}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}\).
Cách 2. Đặt các trục \(Ox\), \(Oy\) và \(Oz\) vào hình như sau
Chọn \(a = 2\), ta có \(M\left( {1;2;0} \right)\), \(N\left( {0;0;2} \right)\), \(B'\left( {0;2;4} \right)\) và \(D'\left( {2;0;4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {B'D'} = \left( {2; - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {MB'} = \left( { - 1;0;4} \right)\)\( \Rightarrow \)\(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {B'D'} } \right] = \left( {4;4;6} \right)\).
Khi đó \(d\left( {MN;B'D'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {B'D'} } \right].\overrightarrow {MB'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {B'D'} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).4 + 0.4 + 4.6} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {6^2}} }} = \dfrac{{10\sqrt {17} }}{{17}} = \dfrac{{5a\sqrt {17} }}{{17}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
