Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx = \dfrac{a}{4} - 4\ln \dfrac{4}{b}}

Câu hỏi số 761090:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx = \dfrac{a}{4} - 4\ln \dfrac{4}{b}} ,\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}\) bằng

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:761090

Phương pháp giải

Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân về tổng, hiệu các hàm phân thức cơ bản rồi sử dụng công thức tích phân cơ bản.

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \dfrac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \) \( = \left. x \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = 1 - J\)
Với \(J = \int\limits_0^1 {\dfrac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\dfrac{{4x + 12 - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left[ {\dfrac{4}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \) \( = 4.\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{x + 3}}} - 3.\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \)
\( = 4\int\limits_0^1 {\dfrac{{d\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}} - 3.\int\limits_0^1 {\dfrac{{d\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \) \( = \left. {\left( {4\ln \left| {x + 3} \right| + \dfrac{3}{{x + 3}}} \right)} \right|_0^1\) \( = 4\ln 4 + \dfrac{3}{4} - 4\ln 3 - 1 = 4\ln \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4}\)
Do đó \(I = 1 - J = 1 - \left( {4\ln \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{5}{4} - 4\ln \dfrac{4}{3}\)\( \Rightarrow a = 5,b = 3\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {5^2} + {3^2} = 34\).

Đáp án cần điền là: 34

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.