Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB = 6a,AD = CD = \dfrac{1}{2}AB\), \(M\) thuộc cạnh

Câu hỏi số 765884:

Vận dụng

Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB = 6a,AD = CD = \dfrac{1}{2}AB\), \(M\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(AM = \dfrac{1}{3}AD\). Tính \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right).\left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} } \right)\).

A. \(T = 27a\).

B. \(T = \dfrac{1}{{27}}a\).

C. \(T = 27{a^2}\).

D. \(T = \dfrac{1}{{27}}{a^2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765884

Phương pháp giải

Chèn điểm vào vecto và tính tích vô hướng.

Giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\)

\( \Rightarrow AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)

Ta có: \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = \left[ {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} } \right)} \right].\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {DC} } \right).\overrightarrow {CB} \)

\( = \left( {\dfrac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + 2.\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} + 2.\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \left( {\dfrac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)\left[ {\overrightarrow {AB} - \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right)} \right]\)

\( = \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} - A{D^2}\)

\( = A{B^2} - A{D^2} = A{B^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}AB} \right)^2} = \dfrac{3}{4}A{B^2} = \dfrac{3}{4}{(6a)^2} = 27{a^2}\).

Vậy \(T = 27{a^2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.