Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB = 6a,AD = CD = \dfrac{1}{2}AB\), \(M\) thuộc cạnh

Câu hỏi số 765884:

Vận dụng

Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB = 6a,AD = CD = \dfrac{1}{2}AB\), \(M\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(AM = \dfrac{1}{3}AD\). Tính \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right).\left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} } \right)\).

A. \(T = 27a\).

B. \(T = \dfrac{1}{{27}}a\).

C. \(T = 27{a^2}\).

D. \(T = \dfrac{1}{{27}}{a^2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765884

Phương pháp giải

Chèn điểm vào vecto và tính tích vô hướng.

Giải chi tiết

Vì \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\)

\( \Rightarrow AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)

Ta có: \(T = \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\left( {\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = \left[ {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} } \right)} \right].\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)

\( = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {MD} + 2\overrightarrow {DC} } \right).\overrightarrow {CB} \)

\( = \left( {\dfrac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + 2.\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} + 2.\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \left( {\dfrac{{ - 1}}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)\left[ {\overrightarrow {AB} - \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} } \right)} \right]\)

\( = \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( = A{B^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} - A{D^2}\)

\( = A{B^2} - A{D^2} = A{B^2} - {\left( {\dfrac{1}{2}AB} \right)^2} = \dfrac{3}{4}A{B^2} = \dfrac{3}{4}{(6a)^2} = 27{a^2}\).

Vậy \(T = 27{a^2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.