Cho ba số thực \(x,y,z \ge 0\) thỏa mãn \({2^x} + {4^y} + {8^z} = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 765885:

Vận dụng

Cho ba số thực \(x,y,z \ge 0\) thỏa mãn \({2^x} + {4^y} + {8^z} = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2}\) nằm trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)\)

B. \(\left( {\dfrac{2}{3};1} \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}} \right)\)

D. \(\left( {2;\dfrac{{12}}{5}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765885

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức \(ab \ge a + b - 1\) mở rộng thành \(abc \ge \left( {a + b - 1} \right)c\)

Giải chi tiết

Với \(a,b,c \ge 1 \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab \ge a + b - 1\)

\( \Leftrightarrow abc \ge \left( {a + b - 1} \right)c = ac + bc - c \ge \left( {a + c - 1} \right) + \left( {b + c - 1} \right) - c = a + b + c - 2\)

Vì \(x,y,z \ge 0\) nên \({2^x},{4^y},{8^z} \ge 1\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có \({2^x}{.4^y}{.8^z} \ge {2^x} + {4^y} + {8^z} - 2 = 2\)

\( \Leftrightarrow {2^{z + 2y + 3x}} \ge 2 \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge 1\)

\( \Rightarrow P = \dfrac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \dfrac{1}{6}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.