Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \(\sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}} \ge

Câu hỏi số 765888:

Vận dụng

Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \(\sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}} \ge 4x + \dfrac{3}{x}\) là

A. 0.

B. 2.

C. 8.

D. 10.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765888

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh VP \( \le \) VT.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ne 0\)

Xét \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(4x + \dfrac{3}{x} = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{5}{3}x + \dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{5}{3}x.\dfrac{5}{3}x.\dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}}} = \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{5}{3}x = \dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \)

Xét \(x < 0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\( - 4x - \dfrac{3}{x} = - \dfrac{5}{3}x - \dfrac{5}{3}x - \dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\left( { - \dfrac{5}{3}x} \right).\left( { - \dfrac{5}{3}x} \right).\left( { - \dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}} \right)}} = - \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 4x + \dfrac{3}{x} \le \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}},\forall x < 0\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \sqrt 3 }\\{x < 0}\end{array}} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10