Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \(\sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}} \ge

Câu hỏi số 765888:

Vận dụng

Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \(\sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}} \ge 4x + \dfrac{3}{x}\) là

A. 0.

B. 2.

C. 8.

D. 10.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:765888

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh VP \( \le \) VT.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x \ne 0\)

Xét \(x > 0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(4x + \dfrac{3}{x} = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{5}{3}x + \dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{5}{3}x.\dfrac{5}{3}x.\dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}}} = \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{5}{3}x = \dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \)

Xét \(x < 0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\( - 4x - \dfrac{3}{x} = - \dfrac{5}{3}x - \dfrac{5}{3}x - \dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\left( { - \dfrac{5}{3}x} \right).\left( { - \dfrac{5}{3}x} \right).\left( { - \dfrac{{2{x^2} + 9}}{{3x}}} \right)}} = - \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow 4x + \dfrac{3}{x} \le \sqrt[3]{{25x\left( {2{x^2} + 9} \right)}},\forall x < 0\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \sqrt 3 }\\{x < 0}\end{array}} \right.\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.