Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right),$ gọi $I$ là

Câu hỏi số 766483:

Vận dụng cao

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ có đồ thị $\left( C \right),$ gọi $I$ là tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right),$ và $M{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b} \right)$ là một điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $M$ cắt hai tiệm cận của đồ thị $\left( C \right)$ lần lượt tại hai điểm $A,{\rm{ }}B.$ Xét trường hợp tam giác $IAB$ có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A. Có $2$ điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

B. Tổng $a + b$ là một số dương.

C. Tam giác $IAB$ có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất bằng $1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$

D. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ qua $M$ bằng $1.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766483

Phương pháp giải

Tìm tọa độ tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số bằng cách tìm giao điểm của hai đường tiệm cận.

Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(m; y(m))$.

Tìm tọa độ các giao điểm $A, B$ của tiếp tuyến $\Delta$ với các đường tiệm cận.

Tính độ dài $IA, IB$ và diện tích tam giác $IAB$.

Sử dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp $r = \frac{S}{p}$ (với $p$ là nửa chu vi) và áp dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất của $r$.

Đối chiếu các kết quả thu được với các mệnh đề trong đề bài để tìm mệnh đề sai.

Giải chi tiết

Hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x + 1} = 2 - \dfrac{1}{x + 1}$ có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.

Suy ra tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ là $I(-1; 2)$.

Đạo hàm của hàm số là: $y' = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.

Gọi điểm $M\left(m; 2 - \dfrac{1}{m + 1}\right) \in (C)$ (điều kiện $m \neq -1$).

Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của $(C)$ tại $M$ là:

$y = \dfrac{1}{(m + 1)^2}(x - m) + 2 - \dfrac{1}{m + 1}$

Giao điểm $A$ của $\Delta$ với tiệm cận đứng $x = -1$:

Thay $x = -1$ vào $\Delta$, ta có $y_A = \dfrac{1}{(m + 1)^2}(-1 - m) + 2 - \dfrac{1}{m + 1} = 2 - \dfrac{2}{m + 1}$.

Vậy $A\left(-1; 2 - \dfrac{2}{m + 1}\right)$.

Giao điểm $B$ của $\Delta$ với tiệm cận ngang $y = 2$:

Thay $y = 2$ vào $\Delta$, ta có

$2 = \dfrac{1}{(m + 1)^2}(x_B - m) + 2 - \dfrac{1}{m + 1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{m + 1} = \dfrac{x_B - m}{(m + 1)^2} \Leftrightarrow x_B - m = m + 1 \Leftrightarrow x_B = 2m + 1$.

Vậy $B(2m + 1; 2)$.

Độ dài các cạnh góc vuông của tam giác $IAB$ (vuông tại $I$):

$IA = |y_A - y_I| = \left|2 - \dfrac{2}{m + 1} - 2\right| = \dfrac{2}{|m + 1|}$

$IB = |x_B - x_I| = |2m + 1 - (-1)| = |2m + 2| = 2|m + 1|$

Diện tích tam giác vuông $IAB$ là:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot IA \cdot IB = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{|m + 1|} \cdot 2|m + 1| = 2$ (đơn vị diện tích).

Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác $IAB$ được tính bằng công thức:

$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{2S}{IA + IB + \sqrt{IA^2 + IB^2}} = \dfrac{4}{IA + IB + \sqrt{IA^2 + IB^2}}$

Để $r$ đạt giá trị lớn nhất thì mẫu số $IA + IB + \sqrt{IA^2 + IB^2}$ phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $IA$ và $IB$:

$IA + IB \ge 2\sqrt{IA \cdot IB} = 2\sqrt{4} = 4$.

Dấu "=" xảy ra khi $IA = IB \Leftrightarrow \dfrac{2}{|m + 1|} = 2|m + 1| \Leftrightarrow (m + 1)^2 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0 \\ m = -2 \end{array} \right.$.

Khi đó, $\min(IA + IB) = 4$ và cạnh huyền $AB = \sqrt{IA^2 + IB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của $r$ là $r_{\max} = \dfrac{4}{4 + 2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{2 + \sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$.

Xét trường hợp $r$ lớn nhất để kiểm tra các mệnh đề:

Với $m = 0 \Rightarrow M(0; 1)$, suy ra $a = 0, b = 1 \Rightarrow a + b = 1 > 0$. Hệ số góc tiếp tuyến là $k = y'(0) = 1$.

Với $m = -2 \Rightarrow M(-2; 3)$, suy ra $a = -2, b = 3 \Rightarrow a + b = 1 > 0$. Hệ số góc tiếp tuyến là $k = y'(-2) = 1$.

Đối chiếu với các đáp án:

Đáp án A đúng vì có $2$ điểm $M$ thỏa mãn là $(0; 1)$ và $(-2; 3)$.

Đáp án B đúng vì tổng $a + b = 1$ là một số dương.

Đáp án C sai vì bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất bằng $2 - \sqrt{2}$, giá trị này khác với $1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án D đúng

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.