Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right),\) gọi \(I\) là

Câu hỏi số 766483:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right),\) gọi \(I\) là tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right),\) và \(M{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b} \right)\) là một điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) cắt hai tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) lần lượt tại hai điểm \(A,{\rm{ }}B.\) Xét trường hợp tam giác \(IAB\) có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A. Có \(2\) điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

B. Tổng \(a + b\) là một số dương.

C. Tam giác \(IAB\) có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất bằng \(1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\)

D. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) qua \(M\) luôn nhỏ hơn \(1.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766483

Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến.

Giải chi tiết

Ta có \(I{\rm{ }}\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right),\)\(M{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}\dfrac{{2a + 1}}{{a + 1}}} \right),{\rm{ }}y'\left( a \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}.\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) là \(y = \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \dfrac{{2a + 1}}{{a + 1}}.\)

Tọa độ \(A,{\rm{ }}B\) sẽ lần lượt là \(\left( { - 1;{\rm{ }}\dfrac{{2a}}{{a + 1}}} \right),{\rm{ }}\left( {2a + 1;{\rm{ }}2} \right).\)

Ta có \(IA = \dfrac{2}{{\left| {a + 1} \right|}},{\rm{ }}IB = 2\left| {a + 1} \right| \Rightarrow {S_{IAB}} = \dfrac{1}{2} \cdot IA \cdot IB = 2 = p \cdot r.\)

Lại có \(p = IA + IB + AB = IA + IB + \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} \ge 2\sqrt {IA \cdot IB} + \sqrt {2 \cdot IA \cdot IB} = 4 + 2\sqrt 2 .\)

Suy ra \(r\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{2}{{4 + 2\sqrt 2 }} = 1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) khi \(p\) đạt giá trị nhỏ nhất, tại đó \(IA = IB.\)

Suy ra \(M\) là giao điểm của đường thẳng đi qua \(I\) có hệ số góc \(k = - 1\) và đồ thị \(\left( C \right).\)

Phương trình của đường thẳng \(IM\) là \(y - 2 = - \left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = - x + 1.\)

Hoành độ của \(M\) là nghiệm của phương trình \( - x + 1 = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array} \Rightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{M{\rm{ }}\left( {0;{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}}\\{M{\rm{ }}\left( { - 2;{\rm{ 3}}} \right)}\end{array}.} \right.\)

Khi đó \(y'\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}y'\left( { - 2} \right) = 1.\)

Đáp án: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.