Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua

Câu hỏi số 766484:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(M{\rm{ }}\left( {1;{\rm{ }}4;{\rm{ }}9} \right),\) cắt các tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\) tại \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) sao cho biểu thức \(OA + OB + OC\) đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(\left( {12;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right).\)

B. \(\left( {6;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right).\)

C. \(\left( {0;{\rm{ }}6;{\rm{ }}0} \right).\)

D. \(\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ 12}}} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766484

Phương pháp giải

Sử dụng cực trị hình học \(Oxyz.\)

Giải chi tiết

Giả sử \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) lần lượt có tọa độ là \(\left( {a;{\rm{ }}0;{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}\left( {0;{\rm{ }}b;{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ }}c} \right){\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c > 0} \right).\)

Ta có \(OA + OB + OC = a + b + c.\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1,\) mà \(M{\rm{ }}\left( {1;{\rm{ }}4;{\rm{ }}9} \right) \in \left( P \right),\) nên \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c} = 1.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) = \left[ {{{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{2}{{\sqrt b }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{9}{{\sqrt c }}} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right]\\{\rm{ }} \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\\ \Rightarrow a + b + c \ge 36.\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = 6,{\rm{ }}b = 12,{\rm{ }}c = 18.\) Vậy mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{{12}} + \dfrac{z}{{18}} = 1.\)

Đáp án: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.