Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} -

Câu hỏi số 766764:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - 4x + m + 2 + 3\sqrt {{x^2} - 4x} }}{{\sqrt {{x^2} - 4x} + 2}}\) nghịch biến trên khoảng \(( - 4;0)\)? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766764

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \), khảo sát hàm \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \) để tìm khoảng giá trị của t theo x và biến đổi hàm số ban đầu theo hàm \(t\) và khảo sát.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \Rightarrow {t^\prime } = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} < 0\,\,\forall t \in ( - 4;0) \Rightarrow t\) nghịch biến trên \(( - 4;0)\)\( \Rightarrow t \in (0;4\sqrt 2 )\).

Khi đó bài toán trở thành tìm \(m\) nguyên dương để hàm số \(g(t) = \dfrac{{{t^2} + 3t + m + 2}}{{t + 2}}\) đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 )\).

Ta có: \(g(t) = \dfrac{{{t^2} + 3t + m + 2}}{{t + 2}} \Rightarrow {g^\prime }(t) = \dfrac{{{t^2} + 4t + 4 - m}}{{{{(t + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 4 - m = 0 \Leftrightarrow {(t + 2)^2} = m\)

Do \(m > 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(t = - 2 \pm \sqrt m \)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; - 2 - \sqrt m )\) và \(( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\).

Để hàm số \(g(t)\) đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 ) \Leftrightarrow (0;4\sqrt 2 ) \subset ( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\)

\( \Leftrightarrow - 2 + \sqrt m \le 0 \Leftrightarrow \sqrt m \le 2 \Leftrightarrow m \le 4.\)

Đáp án: 4

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.