Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để tồn tại duy nhất giá trị nguyên của \(y\)

Câu hỏi số 766769:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để tồn tại duy nhất giá trị nguyên của \(y\) sao cho thỏa mãn bất phương trình \({e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x > \ln \left( {{x^2} - y} \right)\)?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766769

Phương pháp giải

Giải bất phương trình hàm số mũ bằng cách sử dụng hàm đặc trưng và tính đơn điệu của hàm đặc trưng tìm mối qua hệ giữa x và y từ đó đánh giá nghiệm.

Giải chi tiết

Điều kiện ban đầu: \({x^2} - y > 0 \Leftrightarrow y < {x^2}\)

Đầu tiên ta có bất phương trình tương đương với: \({e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln \left( {{x^2} - y} \right) > 0\)

Xét hàm số theo biến \(y\) tức \(f(y) = {e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln \left( {{x^2} - y} \right)\) trên \(\left( { - \infty ;{x^2}} \right)\) ta có:

\({f^\prime }(y) = 2{e^{2y}} + 4{x^2} - 2y + \dfrac{1}{{{x^2} - y}} > 0\) trên \(\left( { - \infty ;{x^2}} \right)\) nên hàm số \(f(y)\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;{x^2}} \right)\)

Từ đó ta có bất phương trình \(f(y) > 0 \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(0) < y < {x^2}\)

Ta có nhận xét như sau: do tồn tại duy nhất giá trị nguyên của \(y\) nên suy ra khoảng \(\left( {{f^{ - 1}}(0);{x^2}} \right)\) của giá trị \(y\) cũng chứa duy nhất một giá trị nguyên, khi đó giá trị của \(y\) sẽ chạy từ \({x^2} - 1\) đến \({x^2}\), tức \({x^2} - 1 < {f^{ - 1}}(0) < y < {x^2}\), từ đó ta suy ra mệnh đề này chỉ xảy ra khi và chỉ khi:

\({f^{ - 1}}(0) > {x^2} - 1 \Leftrightarrow f\left( {{x^2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {e^{2\left( {{x^2} - 1} \right)}} + 4{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + x - \ln \left( {{x^2} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow {e^{2\left( {{x^2} - 1} \right)}} + 4{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) + x > 0 \Leftrightarrow {e^{2\left( {{x^2} - 1} \right)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1 < 0\)

Xét hàm số \(g(x) = {e^{2\left( {{x^2} - 1} \right)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1\) có \({g^\prime }(x) = 0\) có một nghiệm duy nhất

Suy ra phương trình \(g(x) = 0\) có không quá hai nghiệm

Từ đó ta giải ra bất phương trình \(g(x) < 0\) có chứa 1 giá trị nguyên \(x = 0\) tức có 1 giá trị nguyên \(x\) sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.