Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để tồn tại duy nhất giá

Câu hỏi số 766769:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để tồn tại duy nhất giá trị nguyên của $y$ sao cho thỏa mãn bất phương trình ${e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x > \ln \left( {{x^2} - y} \right)$?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766769

Phương pháp giải

Giải bất phương trình hàm số mũ bằng cách sử dụng hàm đặc trưng và tính đơn điệu của hàm đặc trưng tìm mối qua hệ giữa x và y từ đó đánh giá nghiệm.

Giải chi tiết

Điều kiện ban đầu: ${x^2} - y > 0 \Leftrightarrow y < {x^2}$

Đầu tiên ta có bất phương trình tương đương với: ${e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln \left( {{x^2} - y} \right) > 0$

Xét hàm số theo biến $y$ tức $f(y) = {e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln \left( {{x^2} - y} \right)$ trên $\left( { - \infty ;{x^2}} \right)$ ta có:

${f^\prime }(y) = 2{e^{2y}} + 4{x^2} - 2y + \dfrac{1}{{{x^2} - y}} > 0$ trên $\left( { - \infty ;{x^2}} \right)$ nên hàm số $f(y)$ đồng biến trên $\left( { - \infty ;{x^2}} \right)$

Từ đó ta có $f(y) > 0 \Leftrightarrow y > y_0$ (với $y_0$ là nghiệm duy nhất của $f(y)=0$).

Do điều kiện ban đầu, ta có $y \in (y_0; x^2)$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x^2 \in \mathbb{Z}$. Các số nguyên nằm nhỏ hơn $x^2$ lần lượt là $x^2 - 1, x^2 - 2, x^2 - 3, \dots$

Để trong khoảng $(y_0; x^2)$ có duy nhất một số nguyên $y$, thì số nguyên đó bắt buộc phải là số lớn nhất: $y = x^2 - 1$.

Đồng thời, số nguyên liền trước nó là $y = x^2 - 2$ không được nằm trong khoảng này.

Từ đó, ta có hệ điều kiện: $\begin{cases} x^2 - 1 \text{ là nghiệm} \\ x^2 - 2 \text{ không là nghiệm} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} f(x^2 - 1) > 0 \\ f(x^2 - 2) \le 0 \end{cases}$

1. Xét $f(x^2 - 1) > 0$:

f(x^2-1) = e^{2(x^2-1)} + 4x^2(x^2-1) - (x^2-1)^2 + x - \ln(x^2 - (x^2-1)) > 0

\Leftrightarrow e^{2x^2-2} + 3x^4 - 2x^2 + x - 1 > 0

Vì $x \in \mathbb{Z}$, ta kiểm tra

$x = 0 \Rightarrow e^{-2} - 1 > 0$ (Sai) $\rightarrow$ Loại $x=0$.
$x = -1 \Rightarrow e^0 + 3 - 2 - 1 - 1 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0$ (Sai) $\rightarrow$ Loại $x=-1$.
$x = 1 \Rightarrow e^0 + 3 - 2 + 1 - 1 > 0 \Leftrightarrow 2 > 0$ (Đúng) $\rightarrow$ Nhận $x=1$.
Với $|x| \ge 2$: $e^{2x^2-2} > 0$ và $3x^4 - 2x^2 = x^2(3x^2 - 2) \ge 4(12 - 2) = 40$. Dễ thấy biểu thức luôn lớn hơn $0$.

Vậy $x \in \mathbb{Z} \setminus \{0; -1\}$ thỏa mãn $f(x^2 - 1) > 0$.

2. Xét $f(x^2 - 2) \le 0$:

f(x^2-2) = e^{2(x^2-2)} + 4x^2(x^2-2) - (x^2-2)^2 + x - \ln(x^2 - (x^2-2)) \le 0

\Leftrightarrow e^{2x^2-4} + 3x^4 - 4x^2 + x - 4 - \ln(2) \le 0

Ta kiểm tra các giá trị $x$ còn lại:

Thử $x = 1$: $\Rightarrow e^{-2} + 3 - 4 + 1 - 4 - \ln(2) \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{e^2} - 4 - \ln(2) \le 0$ (Luôn đúng vì vế trái âm). $\rightarrow$ $x=1$ thỏa mãn.
Với $|x| \ge 2$: Ta có $e^{2x^2-4} \ge 1$. Và $3x^4 - 4x^2 = x^2(3x^2 - 4) \ge 4(12 - 4) = 32$.

Khi đó hàm số $f(x^2-2) \ge 1 + 32 + x - 4 - \ln(2) = 29 + x - \ln(2)>0$.

Do đó với mọi $|x| \ge 2$, $f(x^2 - 2) > 0$ (Không thỏa mãn yêu cầu $\le 0$).

=> Chỉ có duy nhất giá trị $x = 1$ thỏa mãn hệ điều kiện.

Số lượng giá trị nguyên của $x$ là: 1.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.