Cho hàm số \(f(x) = - {x^3} + 3x\) và \(g(x) = \left| {f(2 + \sin x) + m} \right|\) (\(m\)

Câu hỏi số 766775:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x) = - {x^3} + 3x\) và \(g(x) = \left| {f(2 + \sin x) + m} \right|\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(S\) là tập các giá trị của tham số \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g(x) + \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g(x) = 50\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 16

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766775

Phương pháp giải

Đặt \(t = 2 + \sin x\) khảo sát hàm \(g(t)\) và chia các trường hợp tìm GTLN, GTNN

Giải chi tiết

Đặt \(t = 2 + \sin x \in [1;3] \Rightarrow g(t) = \left| {{t^3} - 3t - m} \right|,t \in [1;3] \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) + \mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = 50\)

Xét hàm số: \(y = {t^3} - 3t - m \Rightarrow {y^\prime } = 3{t^2} - 3 \ge 0\forall t \in [1;3]\).

\(y(1) = - m - 2,y(3) = 18 - m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = \max \{ | - m - 2|;|18 - m|\} \\\left[ \begin{array}{l}\mathop {min}\limits_{[1;3]} g(t) = \min \{ | - m - 2|;|18 - m|\} \\\mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: Nếu \( - m - 2 > 0 \Leftrightarrow m < - 2\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = |18 - m| = 18 - m}\\{\mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = | - 2 - m| = - m - 2}\end{array} \Rightarrow - 2 - m + 18 - m = 50 \Leftrightarrow m = - 17\,\,(t/m)} \right.\)

Trường hợp 2: Nếu \(18 - m < 0 \Leftrightarrow m > 18\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = |18 - m| = m - 18}\\{\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = | - 2 - m| = m + 2}\end{array} \Rightarrow m + 2 + m - 18 = 50 \Leftrightarrow m = 33\,\,(t/m)} \right.\)

Trường hợp 3: Nếu \(( - m - 2)( - m + 18) \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 18\) thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = \max \{ | - m - 2|;|18 - m|\} }\\{\mathop {\min }\limits_{[1;3]} g(t) = 0}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)

Nhận xét: \(\mathop {\max }\limits_{[1;3]} g(t) = \max \{ | - m - 2|;|18 - m|\} < 50,\forall m \in [ - 2;18] \Rightarrow m \in \emptyset \).

Vậy \(S = \{ - 17;33\} \) nên tổng các phần tử của \(S\) bằng 16.

Đáp án: 16

Đáp án cần điền là: 16

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.