Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;3),B(5;2; - 1)\) và hai điểm M, N thay đổi thuộc

Câu hỏi số 766784:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(1;1;3),B(5;2; - 1)\) và hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho điểm \(I(1;2;0)\) luôn là trung điểm của MN. Tính \(T = 2{x_M} - 4{x_N} + 7{y_M} - {y_N}\) khi biểu thức \(P = M{A^2} + 2N{B^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -10

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766784

Phương pháp giải

Đặt tọa độ điểm M và N theo hệ thức trung điểm, sau đó thay vào P và đánh giá biểu thức P

Giải chi tiết

Giả sử điểm \(M(1 - x;2 - y;0),N(1 + x;2 + y;0),{x^2} + {y^2} \ne 0\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}P = {x^2} + {(y - 1)^2} + 9 + 2\left( {{x^2} - 8x + {y^2} + 7} \right) + x(4 - x) - y(y - 1) - 3\\P = 2{x^2} - 12x + 2{y^2} + 41 = 2{(x - 3)^2} + 2{\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{183}}{8} \ge \dfrac{{183}}{8}\end{array}\)

Vậy:

\({P_{\min }} = \dfrac{{183}}{8} \Leftrightarrow x = 3;y = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow M\left( { - 2;\dfrac{7}{4};0} \right);N\left( {4;\dfrac{9}{4};0} \right) \Rightarrow T = - 10\)

Đáp án: -10

Đáp án cần điền là: -10

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.