Một bình hoa dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới

Câu hỏi số 766783:

Vận dụng

Một bình hoa dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - sinx + 2\) và trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới). Biết đáy bình hoa là hình tròn có bán kính bằng 2dm, miệng bình hoa là đường tròn bán kính bằng 1.5dm. Bỏ qua độ dày của bình hoa, tính thể tích của bình hoa. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: dm³)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 103

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766783

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ từ đó dùng ứng dụng tích phân để tính thể tích.

Giải chi tiết

Giả sử thiết diện qua trục của bình hoa miêu tả như hình vẽ bên dưới. Chọn hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn gốc tọa độ O trùng với tâm đáy bình hoa, trục Ox trùng với trục của bình hoa.

Bán kính hình tròn đáy bình hoa bằng \({y_A} = 2\) nên

\( - \sin {x_A} + 2 = 2 \Rightarrow \sin {x_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = 0\)

Bán kính đường tròn miệng bình hoa bằng \({y_B} = 1,5\,\,\left( {2\pi < {x_B} < 3\pi } \right)\), tức là:

\(\sin \left( {{x_B} - \pi } \right) + 2 = 1,5 \Rightarrow \sin \left( {{x_B} - \pi } \right) = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow {x_B} - \pi = - \dfrac{\pi }{6} + 2\pi \Rightarrow {x_B} = \dfrac{{17\pi }}{6}\)

Khi đó thể tích bình hoa giới hạn bởi các đường \(y = - \sin x + 2;y = 0;x = 0;x = \dfrac{{17\pi }}{6}\) được xác định theo công thức

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{{17\pi }}{6}} {{{( - \sin x + 2)}^2}} \;{\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^{\dfrac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + {{\sin }^2}x} \right)} {\rm{d}}x\\ = \pi \int\limits_0^{\dfrac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} {\rm{d}}x = \pi \int\limits_0^{\dfrac{{17\pi }}{6}} {\left( {\dfrac{9}{2} - 4\sin x - \dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right)} {\rm{d}}x\\ = \left. {\pi \left( {\dfrac{9}{2}x + 4\cos x - \dfrac{{\sin 2x}}{4}} \right)} \right|_0^{\dfrac{{17\pi }}{6}} = \dfrac{{51{\pi ^2}}}{4} - \dfrac{{32 + 15\sqrt 3 }}{8}\pi \approx 103,07\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\end{array}\)

Đáp số: 103

Đáp án cần điền là: 103

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.