Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({{\rm{e}}^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của

Câu hỏi số 766796:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \({{\rm{e}}^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({{\rm{e}}^x}.{f^\prime }(x)\) trên \(\mathbb{R}\) và\(f(0) = 1\). Khi đó \(f(1)\) bằng:

A. \(\dfrac{{{{\rm{e}}^3} - {\rm{e}} + 2}}{2}\)

B. \({{\rm{e}}^2} - {\rm{e}} + 1\)

C. \(2{{\rm{e}}^2} - 2{\rm{e}} + 1\)

D. \(2{\rm{e}} - 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:766796

Phương pháp giải

Công thức nguyên hàm

Giải chi tiết

\({{\rm{e}}^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({{\rm{e}}^x}.{f^\prime }(x)\) nên

\({{\rm{e}}^x}.{f^\prime }(x) = {\left( {{{\rm{e}}^{2x + 1}}} \right)^\prime } = 2{{\rm{e}}^{2x + 1}} \Leftrightarrow {f^\prime }(x) = \dfrac{{2{{\rm{e}}^{2x + 1}}}}{{{{\rm{e}}^x}}} = 2{{\rm{e}}^{x + 1}}\)

Ta có \(\int\limits_0^1 {{f^\prime }(x){\rm{d}}x = \left. {f(x)} \right|_0^1 = f(1) - f(0)} \).

\( \Rightarrow f(1) = f(0) + \int\limits_0^1 {{f^\prime }(x){\rm{d}}x} = 1 + \int\limits_0^1 {{\rm{2}}{{\rm{e}}^{x + 1}}\;} {\rm{d}}x = 1 + \left. {2{{\rm{e}}^{x + 1}}} \right|_0^1 = 2{{\rm{e}}^2} - 2{\rm{e}} + 1.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.