Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu \(\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x - 1}

Câu hỏi số 767286:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$ và mặt phẳng $\left( P \right):{\rm{ }}2x + 2y - z + 24 = 0.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $\left( S \right)$ trên $\left( P \right).$ Điểm $M$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho đoạn $MH$ có độ dài lớn nhất. Tọa độ điểm $M$ là

A. $\left( {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}2} \right).$

B. $\left( { - 1;{\rm{ 0}};{\rm{ 4}}} \right).$

C. $\left( {1;{\rm{ 2}};{\rm{ 0}}} \right).$

D. $\left( {3;{\rm{ 1}};{\rm{ 1}}} \right).$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767286

Phương pháp giải

Sử dụng vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.

Giải chi tiết

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I{\rm{ }}\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right),{\rm{ }}R = 3.$

Trong không gian, với một điểm $M$ bất kỳ trên mặt cầu $(S)$ và một điểm $H$ cố định, theo bất đẳng thức tam giác cho $\triangle IMH$, ta luôn có: $MH \le MI + IH$

Vì $M \in (S)$ nên $MI = R$ (không đổi). $I, H$ cố định nên $IH$ không đổi.

Vậy $MH$ lớn nhất bằng $R + IH$, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $I$ nằm giữa $M$ và $H$, hay $M, I, H$ thẳng hàng

Ta có $IM \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = k\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2k;{\rm{ }}2k;{\rm{ }} - k} \right).$

Suy ra $IM = \sqrt {{{\left( {2k} \right)}^2} + {{\left( {2k} \right)}^2} + {{\left( { - k} \right)}^2}} = 3\left| k \right| = 3 \Rightarrow k = \pm 1.$

Với $k = 1:{\rm{ }}\overrightarrow {IM} = \left( {2;{\rm{ }}2;{\rm{ }} - 1} \right) = \left( {{x_M} - 1;{\rm{ }}{y_M} - 2;{\rm{ }}{z_M} - 3} \right) \Rightarrow {M_1}{\rm{ }}\left( {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}2} \right).$

Với $k = - 1:{\rm{ }}\overrightarrow {IM} = \left( {-2;{\rm{ }}-2;{\rm{ }} 1} \right) = \left( {{x_M} - 1;{\rm{ }}{y_M} - 2;{\rm{ }}{z_M} - 3} \right) \Rightarrow {M_2}{\rm{ }}\left( { - 1;{\rm{ 0}};{\rm{ 4}}} \right).$

Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$ nên $IH \perp (P)$.

Theo chứng minh trên, để $MH$ lớn nhất thì $M, I, H$ thẳng hàng, tức là đường thẳng $MH$ trùng với đường thẳng $IH$.

Suy ra $MH \perp (P)$.

Lại có $H \in (P)$. Do đó, $H$ cũng chính là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(P)$. Vậy $MH = d(M, (P))$.

Tính được $d\left( {{M_1},{\rm{ }}\left( P \right)} \right) = 12,{\rm{ }}d\left( {{M_2},{\rm{ }}\left( P \right)} \right) = 6,$ nên ta lấy điểm có tọa độ $\left( {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}2} \right).$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.