Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x - 1}

Câu hỏi số 767286:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}2x + 2y - z + 24 = 0.\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) trên \(\left( P \right).\) Điểm \(M\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho đoạn \(MH\) có độ dài lớn nhất. Tọa độ điểm \(M\) là

A. \(\left( {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}2} \right).\)

B. \(\left( { - 1;{\rm{ 0}};{\rm{ 4}}} \right).\)

C. \(\left( {1;{\rm{ 2}};{\rm{ 0}}} \right).\)

D. \(\left( {3;{\rm{ 1}};{\rm{ 1}}} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767286

Phương pháp giải

Sử dụng vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I{\rm{ }}\left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3} \right),{\rm{ }}R = 3.\)

Đoạn thẳng \(MH\) có độ dài lớn nhất khi ba điểm \(M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}H\) thẳng hàng.

Ta có \(IM \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = k\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2k;{\rm{ }}2k;{\rm{ }} - k} \right).\)

Suy ra \(IM = \sqrt {{{\left( {2k} \right)}^2} + {{\left( {2k} \right)}^2} + {{\left( { - k} \right)}^2}} = 3\left| k \right| = 3 \Rightarrow k = \pm 1.\)

Với \(k = 1:{\rm{ }}\overrightarrow {IM} = \left( {2;{\rm{ }}2;{\rm{ }} - 1} \right) = \left( {{x_M} - 1;{\rm{ }}{y_M} - 2;{\rm{ }}{z_M} - 3} \right) \Rightarrow {M_1}{\rm{ }}\left( {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}2} \right).\)

Với \(k = - 1:{\rm{ }}\overrightarrow {IM} = \left( {2;{\rm{ }}2;{\rm{ }} - 1} \right) = \left( {{x_M} - 1;{\rm{ }}{y_M} - 2;{\rm{ }}{z_M} - 3} \right) \Rightarrow {M_2}{\rm{ }}\left( { - 1;{\rm{ 0}};{\rm{ 4}}} \right).\)

Ta có độ dài của \(MH\) là khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\left( P \right).\)

Tính được \(d\left( {{M_1},{\rm{ }}\left( P \right)} \right) = 12,{\rm{ }}d\left( {{M_2},{\rm{ }}\left( P \right)} \right) = 6,\) nên ta lấy điểm có tọa độ \(\left( {3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}2} \right).\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.