Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\),

Câu hỏi số 767444:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\), \(\widehat {BAD} = {135^0}\). Biết \(SA = 2a\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc 60⁰. Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO\),\(\left( P \right)\)là mặt phẳng đi qua \(BI\) và song song với cạnh \(AC\), \(\left( P \right)\) chia hình chóp \(S.ABCD\)thành hai phần. Biết thể tích của phần nhỏ hơn là \(\dfrac{{{a^3}\sqrt m }}{n}\), với \(m,\,n \in {\mathbb{N}^*};\,m + n < 60\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{n}{{{m^2}}}\). (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767444

Phương pháp giải

Tính các tỉ lệ độ dài, từ đó sử dụng tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(SA,\,SC,\,SD\)lần lượt tại \(M,\,N,\,P\).
Do \(\left( P \right)\parallel AC \Rightarrow MN\parallel AC\)mà \(I\) là trung điểm của \(SO\)nên \(M,\,N\)lần lượt là trung điểm của \(SA,\,SC\).
Gọi \(K\)là trung điểm \(PD\).
Xét tam giác \(BPD\) có \(O,\,K\)lần lượt là trung điểm \(DB,\,DP\) nên \(OK\parallel BP\).
Xét tam giác \(SOK\) có \(I\)là trung điểm \(SO\), mà \(IP\parallel OK\)nên \(P\) là trung điểm \(SK \Rightarrow SP = PK = KO\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{V_{SBNP}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\\dfrac{{{V_{SBMP}}}}{{{V_{SBAD}}}} = \dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{V_{SBNPM}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \dfrac{1}{6}\)
Chiều cao của hình chóp \(h = SA.\cos \left( {SA,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = 2a.\cos {60^0} = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {V_{SABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.h = \dfrac{1}{3}.a.a.\sin {135^0}.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)

\( \Rightarrow {V_{SBNPM}} = \dfrac{{{V_{SABCD}}}}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}} \Rightarrow \dfrac{n}{{{m^2}}} = \dfrac{{36}}{{{6^2}}} = 1\)

Đáp án: 1

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.