Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$,

Câu hỏi số 767444:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $\widehat {BAD} = {135^0}$. Biết $SA = 2a$ và tạo với mặt phẳng đáy một góc 60⁰. Gọi $I$ là trung điểm của $SO$,$\left( P \right)$là mặt phẳng đi qua $BI$ và song song với cạnh $AC$, $\left( P \right)$ chia hình chóp $S.ABCD$thành hai phần. Biết thể tích của phần nhỏ hơn là $\dfrac{{{a^3}\sqrt m }}{n}$, với $m,\,n \in {\mathbb{N}^*};\,m + n < 60$. Tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{n}{{{m^2}}}$. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767444

Phương pháp giải

Tính các tỉ lệ độ dài, từ đó sử dụng tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt $SA,\,SC,\,SD$lần lượt tại $M,\,N,\,P$.

Do $\left( P \right)\parallel AC \Rightarrow MN\parallel AC$mà $I$ là trung điểm của $SO$nên $M,\,N$lần lượt là trung điểm của $SA,\,SC$.

Gọi $K$là trung điểm $PD$.

Xét tam giác $BPD$ có $O,\,K$lần lượt là trung điểm $DB,\,DP$ nên $OK\parallel BP$.

Xét tam giác $SOK$ có $I$là trung điểm $SO$, mà $IP\parallel OK$nên $P$ là trung điểm $SK \Rightarrow SP = PK = KO$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{V_{SBNP}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\\dfrac{{{V_{SBMP}}}}{{{V_{SBAD}}}} = \dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SM}}{{SA}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{V_{SBNPM}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \dfrac{1}{6}$

Chiều cao của hình chóp $h = SA \cdot \sin\big(SA, (ABCD)\big) = 2a \cdot \sin 60^\circ = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

$ \Rightarrow {V_{SABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.h = \dfrac{1}{3}.a.a.\sin {135^0}.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$

$ \Rightarrow {V_{SBNPM}} = \dfrac{{{V_{SABCD}}}}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}} \Rightarrow \dfrac{n}{{{m^2}}} = \dfrac{{36}}{{{6^2}}} = 1$

Đáp án: 1

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.