Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh

Câu hỏi số 767443:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng đáy là trung điểm của $AO$. Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,AD$. Biết thể tích của hình chóp là $V = \dfrac{{2{a^3}}}{3}$, góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $CN$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. $93^\circ .$

B. $88^\circ .$

C. $89^\circ .$

D. $87^\circ .$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767443

Phương pháp giải

Chọn đường thẳng trung gian song song với một đường thẳng và cắt đường thẳng còn lại.

Giải chi tiết

Ta có ${V_{SABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{a^2} = \frac{2}{3}{a^3} \Rightarrow SH = 2a$

$HM = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4}a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$

$ \Rightarrow SM = \sqrt {S{H^2} + H{M^2}} = \frac{{\sqrt {66} }}{4}a$

Kẻ $MK\parallel CN \Rightarrow MK = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 }}{4}a$

$HK = \dfrac{3}{4}AB = \dfrac{3}{4}a$ nên $SK = \sqrt {S{H^2} + H{K^2}} = \dfrac{{\sqrt {73} }}{4}a$

$ \Rightarrow \left( {SM;CN} \right) = \left( {SM;MK} \right) = \angle SMK$

$ \Rightarrow \cos SMK = \frac{{S{M^2} + M{K^2} - S{K^2}}}{{2SM.MK}} = - 0,055$ nên $\angle SMK = 93,{1^0}$

Góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $CN$ là: $180^\circ - 93,15^\circ = 86,85^\circ$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.