Tìm \(m\) để giá trị nhỏ nhất hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \dfrac{m}{x} + m\)

Câu hỏi số 767461:

Vận dụng

Tìm \(m\) để giá trị nhỏ nhất hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + \dfrac{m}{x} + m\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng 176. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 128

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767461

Phương pháp giải

Vẽ bảng biến thiên của hàm số cho từng trường hợp của \(m\).

Giải chi tiết

Với \(m = 0\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Với \(m < 0\), có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{m}{x} = - \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + \dfrac{m}{x} + m} \right) = - \infty \) nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Với \(m > 0\), ta xét hàm số:
\(f'\left( x \right) = 2x - \dfrac{m}{{{x^2}}}\). Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^3} - m}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\dfrac{m}{2}}}\)
Khi đó, vẽ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \sqrt[3]{{\dfrac{m}{2}}}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(f\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{m}{2}}}} \right) = \sqrt[3]{{\dfrac{{{m^2}}}{4}}} + \sqrt[3]{{2{m^2}}} + m = m + \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}}\)
Cho \(m + \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{2{m^2}}} = 176 \Leftrightarrow 2.\dfrac{m}{2} + 3\sqrt[3]{{{{\left( {\dfrac{m}{2}} \right)}^2}}} = 176 \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{\dfrac{m}{2}}} - 4} \right)\left( {2{{\left( {\sqrt[3]{{\dfrac{m}{2}}}} \right)}^2} + 11\sqrt[3]{{\dfrac{m}{2}}} + 44} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\dfrac{m}{2}}} = 4 \Leftrightarrow m = 128\)

Đáp án: 128

Đáp án cần điền là: 128

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.