Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O

Câu hỏi số 768492:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(\left( {O'} \right)\) là đường trờn ngoại tiếp tam giác \(OBC,D\) là giao điểm của \(OH\) và \(\left( {O'} \right)(D\) khác \(O\)).
a) Chứng minh rằng \(OH \cdot OD = O{B^2}\).
b) Chứng minh rà̀ng \(\angle {OAH} = \angle {ADH}\).
c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(\left( {O'} \right)\) (\(E\) thuộc cung nhỏ \(OB\) và khác với \(O,B\)). Tính số đo góc \(\angle {AOE}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768492

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\;\Delta OBH\)~\(\Delta ODB\) (g.g)\(\; \Rightarrow \dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{OH}}{{OB}}\)\(\; \Rightarrow OH \cdot OD = O{B^2}\).

b) Chứng minh \(\;\Delta OAH\)~\(\Delta ODA\)\(\; \Rightarrow \angle {OAH} = \angle {ADH}.\)

c) Gọi F là giao điểm của OE với BC, chứng minh \(AOHF\) nội tiếp \(\; \Rightarrow \angle {AOF} = \angle {AHF} = {90^0}\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \(OH.OD = O{B^2}\).

Xét \(\Delta OBH\) và \(\Delta ODB\) có

\(\angle {BOH} = \angle {DOB}\)

\(\angle {OBH} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,OC = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,OB = \angle {ADB}\)

\(\; \Rightarrow \Delta OBH\)~\(\Delta ODB\) (g.g)

\(\; \Rightarrow \dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{OH}}{{OB}}\)

\(\; \Rightarrow OH \cdot OD = O{B^2}\)

b) Chứng minh rằng \(\angle {OAH} = \angle {ADH}\).

Ta có \(OH.OD = O{B^2} = O{A^2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OD}}\)

Xét \(\Delta OAH\) và \(\Delta ODA\) có

\(\angle {AOH} = \angle {DOA}\)

\(\dfrac{{OH}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OD}}\)

\(\; \Rightarrow \Delta OAH\)~\(\Delta ODA\)

\(\; \Rightarrow \angle {OAH} = \angle {ADH}.\)

Gọi F là giao điểm của OE với BC

Ta có \({\rm{\;}}\angle {OFH} = \angle {OFC} = \dfrac{1}{2}\left( {sdcungOC - sdcungBE} \right)\)

\(\; = \dfrac{1}{2}\left( {sdcungOB - sdcungBE} \right) = \dfrac{1}{2}sdcungEO\)

\(\; = \angle {ODE} = \angle {OAH}\)

Suy ra \(AOHF\) nội tiếp

\(\; \Rightarrow \angle {AOF} = \angle {AHF} = {90^0}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link