Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O

Câu hỏi số 768492:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(\left( {O'} \right)\) là đường trờn ngoại tiếp tam giác \(OBC,D\) là giao điểm của \(OH\) và \(\left( {O'} \right)(D\) khác \(O\)).
a) Chứng minh rằng \(OH \cdot OD = O{B^2}\).
b) Chứng minh rà̀ng \(\angle {OAH} = \angle {ADH}\).
c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(\left( {O'} \right)\) (\(E\) thuộc cung nhỏ \(OB\) và khác với \(O,B\)). Tính số đo góc \(\angle {AOE}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768492

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\;\Delta OBH\)~\(\Delta ODB\) (g.g)\(\; \Rightarrow \dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{OH}}{{OB}}\)\(\; \Rightarrow OH \cdot OD = O{B^2}\).

b) Chứng minh \(\;\Delta OAH\)~\(\Delta ODA\)\(\; \Rightarrow \angle {OAH} = \angle {ADH}.\)

c) Gọi F là giao điểm của OE với BC, chứng minh \(AOHF\) nội tiếp \(\; \Rightarrow \angle {AOF} = \angle {AHF} = {90^0}\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \(OH.OD = O{B^2}\).

Xét \(\Delta OBH\) và \(\Delta ODB\) có

\(\angle {BOH} = \angle {DOB}\)

\(\angle {OBH} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,OC = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,OB = \angle {ADB}\)

\(\; \Rightarrow \Delta OBH\)~\(\Delta ODB\) (g.g)

\(\; \Rightarrow \dfrac{{OB}}{{OD}} = \dfrac{{OH}}{{OB}}\)

\(\; \Rightarrow OH \cdot OD = O{B^2}\)

b) Chứng minh rằng \(\angle {OAH} = \angle {ADH}\).

Ta có \(OH.OD = O{B^2} = O{A^2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OD}}\)

Xét \(\Delta OAH\) và \(\Delta ODA\) có

\(\angle {AOH} = \angle {DOA}\)

\(\dfrac{{OH}}{{OA}} = \dfrac{{OA}}{{OD}}\)

\(\; \Rightarrow \Delta OAH\)~\(\Delta ODA\)

\(\; \Rightarrow \angle {OAH} = \angle {ADH}.\)

Gọi F là giao điểm của OE với BC

Ta có \({\rm{\;}}\angle {OFH} = \angle {OFC} = \dfrac{1}{2}\left( {sdcungOC - sdcungBE} \right)\)

\(\; = \dfrac{1}{2}\left( {sdcungOB - sdcungBE} \right) = \dfrac{1}{2}sdcungEO\)

\(\; = \angle {ODE} = \angle {OAH}\)

Suy ra \(AOHF\) nội tiếp

\(\; \Rightarrow \angle {AOF} = \angle {AHF} = {90^0}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link