a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 6\).b) Tìm

Câu hỏi số 770140:

Vận dụng cao

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 6\).
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho \({(2n + 1)^3} + 1\) chia hết cho \({2^{2024}}\).
c) Cho các số thực \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) thay đổi. Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\).
d) Cho các số thực \({b_1} \ge {b_2} > 0;{a_1} \ge {b_1};{a_1}{a_2} \ge {b_1}{b_2}\). Chứng minh rằng: \({a_1} + {a_2} \ge {b_1} + {b_2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:770140

Phương pháp giải

a) Vì \(x,y\) là các số nguyên dương nên \(x + 1 \ge 2\) và \(y + 1 \ge 2\).

b) Với các số nguyên \(a,b\), ký hiệu \(b\mid a\) nghĩa là a chia hết cho b hoặc b là ước của a .

Ta tách: \({(2n + 1)^3} + 1 = 2\left( {n + 1} \right)\left( {4{n^2} + 2n + 1} \right)\).

c) Đưa về dạng \({(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge 0\)

d) Bổ đề (Khai triển Abel): Với bốn số thực \({x_1},{x_2},{y_1},{y_2}\) bất kì thì luôn có:

\({x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} = \left( {{x_1} - {x_2}} \right){y_1} + {x_2}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\)

Đẳng thức trên là hiển nhiên, ta chỉ cần khai triển vế phải dễ dàng thu được vế trái.

Áp dụng Bổ đề trên vào bài toán.

Giải chi tiết

a) Vì \(x,y\) là các số nguyên dương nên \(x + 1 \ge 2\) và \(y + 1 \ge 2\).

Do đó: hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 = 2}\\{y + 1 = 3}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1 = 3}\\{y + 1 = 2}\end{array}} \right.\) Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)
b) Với các số nguyên \(a,b\), ký hiệu \(b\mid a\) nghĩa là a chia hết cho b hoặc b là ước của a .

Ta có: \({(2n + 1)^3} + 1 = \left( {2n + 2} \right)\left[ {{{(2n + 1)}^2} - \left( {2n + 1} \right) + 1} \right] = 2\left( {n + 1} \right)\left( {4{n^2} + 2n + 1} \right)\).

Chú ý rằng \(4{n^2} + 2n + 1\) là số lẻ với mọi số tự nhiên n nên để \({(2n + 1)^3} + 1\) chia hết cho \({2^{2024}}\) thì \({2^{2024}}\left| {2\left( {n + 1} \right) \Leftrightarrow {2^{2023}}} \right|n + 1 \Leftrightarrow n = {2^{2023}}k - 1\left( {k \in {\mathbb{Z}_ + }} \right)\).
c) Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\).

\( \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge 0\)

Dấu " xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\)

d) Trước hết, ta có bổ đề sau:

Bổ đề (Khai triển Abel): Với bốn số thực \({x_1},{x_2},{y_1},{y_2}\) bất kì thì luôn có:

\({x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} = \left( {{x_1} - {x_2}} \right){y_1} + {x_2}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\)

Đẳng thức trên là hiển nhiên, ta chỉ cần khai triển vế phải dễ dàng thu được vế trái.

Trở lại bài toán, ta có:

\({a_1} + {a_2} \ge {b_1} + {b_2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{a_1} - {b_1}} \right) + \left( {{a_2} - {b_2}} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {b_1}\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} - 1} \right) + {b_2}\left( {\dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} - 1} \right) \ge 0\)

Áp dụng Bổ đề trên ta có: \({b_1}\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} - 1} \right) + {b_2}\left( {\dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} - 1} \right) = \left( {{b_1} - {b_2}} \right)\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} - 1} \right) + {b_2}\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} - 2} \right)\) (1)

Chú ý rằng từ \({b_1} \ge {b_2}\) và \({a_1} \ge {b_1}\) nên \(\left( {{b_1} - {b_2}} \right)\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} - 1} \right) \ge 0\) (2).

Mặt khác, áp dụng bđt AM-GM ta có \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} - 2 \ge 2\sqrt {\dfrac{{{a_1}{a_2}}}{{{b_1}{b_2}}}} - 2 \ge 2 - 2 = 0\),

suy ra \({b_2}\left( {\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} + \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} - 2} \right) \ge 0\) (3).

Kết hợp (2) và (3), ta có đẳng thức (1) luôn không âm. Bài toán được chứng minh.

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {a_1} = {a_2} = {b_1} = {b_2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link