Cho \(A,B\) là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 2\). Giả sử \(C\)

Câu hỏi số 770141:

Vận dụng

Cho \(A,B\) là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 2\). Giả sử \(C\) là điểm cố định trên tia đối của tia \(BA\) sao cho \(CO = 4\). Một cát tuyến thay đổi qua \(C\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\) và \(E(D\) nằm giữa \(C\) và \(E)\).
a) Chứng minh rằng: \(CD \cdot CE = 12\).
b) Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(BCD\) và \(ACE\) cắt nhau tại giao điểm thứ hai \(M\). Biết rằng bốn điểm \(O,B,M,E\) tao thành tứ giác \(OBME\). Chứng minh rằng: Tứ giác \(OBME\) nội tiếp.

c) Khi \(M\) di chuyển, chứng minh rằng: \(MO \cdot MC \le 8\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:770141

Phương pháp giải

a) Dựng \(CH\) là tiếp tuyến của \(C\) với \(\left( O \right)\).

Khi đó: \(\Delta CHD\)~\({\rm{\Delta }}CEH\) (g.g) cho nên \(\dfrac{{CH}}{{CD}} = \dfrac{{CE}}{{CH}}\) hay \(CE.CD = C{H^2}\). Từ đó áp dụng định lý Pythagore trong \(\Delta CHO\) vuông.

b) \(\angle {BME} = \angle {BOE}\) nên tứ giác \(OBME\) là tứ giác nội tiếp.

c) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

a) Dựng \(CH\) là tiếp tuyến của \(C\) với \(\left( O \right)\).

Khi đó: \(\Delta CHD\)~\({\rm{\Delta }}CEH\) (g.g) cho nên \(\dfrac{{CH}}{{CD}} = \dfrac{{CE}}{{CH}}\) hay \(CE.CD = C{H^2}\).

Mặt khác, \(\Delta CHO\) vuông tại H nên theo Định lý Pythagore: \(C{H^2} + O{H^2} = C{O^2}\) nên \(C{H^2} = C{O^2} - O{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12\).

Vậy \(CD \cdot CE = 12\)
b) Ta có:

\(\angle {BME} = \angle {CME} - \angle {CMB} = {180^0} - \angle {BAE} - \angle {CMB}\)

\( = {180^0} - \angle {BAE} - \angle {BDC} = {180^0} - 2\angle {BAE}\)

Mà \(2\angle {BAE} = \angle {BOE}\) nên tứ giác \(OBME\) là tứ giác nội tiếp
c) Ta có: \(\angle {OMC} = \angle {BMC} + \angle {OMB} = \angle {BDC} + \angle {OEB} = \angle {BAE} + \angle {OEB} = {90^0}\)

Do đó, \(\Delta OMC\) vuông tại M nên \(O{M^2} + M{C^2} = O{C^2} = 16\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: \(16 = O{M^2} + M{C^2} \ge 2.MC.OM\) hay \(MO.MC \le 8\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link