Anh Nam là một vận động viên chơi cờ. Để luyện tập, mỗi ngày anh chơi ít nhất một ván.

Câu hỏi số 770142:

Vận dụng cao

Anh Nam là một vận động viên chơi cờ. Để luyện tập, mỗi ngày anh chơi ít nhất một ván. Để khỏi mệt, mỗi tuần anh chơi không quá 12 ván. Chứng minh rằng tồn tại một số ngày liên tiếp trong đó anh chơi đúng 20 ván.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:770142

Giải chi tiết

Gọi \({a_i}\) là số ván cờ mà anh Nam chơi trong ngày thứ \(i,i \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},{a_i} \ge 1\).

Không mất tính tổng quát giả sử anh Nam chơi ngày đầu tiên là đầu tuần.

Theo đề bài, mỗi tuần anh Nam chơi không quá 12 ván nên \({a_{7k + 1}} + {a_{7k + 2}} + \ldots + {a_{7k + 7}} \le 12\) với \(\forall k \in \mathbb{N}\).

Đặt \({S_n} = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_j}} = {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}\)

Với mỗi cặp \(k,l\) nguyên dương, \(k > l\), thì \({S_k} = {S_l} + {a_{l + 1}} + {a_{l + 2}} \ldots + {a_{k - 1}} + {a_k} \ge {S_l} + k - l > {S_l}\)

Do đó \({S_k} > {S_l}\) khi và chỉ khi \(k > l\).

Xét 3 tuần đầu tiên, tức 21 ngày liên tiếp, khi đó tổng số ván đã chơi không quá 36 ván do mỗi tuần không quá 12 ván, hay \({S_{21}} = \sum\limits_{j = 1}^{21} {{a_j}} \le 36\)

Do đó, \({S_1} < {S_2} < \ldots < {S_{20}} < {S_{21}} \le 36\)

Do \({S_1},{S_2}, \ldots ,{S_{21}}\) đều là số nguyên dương, nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 cặp \({S_k}\) và \({S_l}\) trong 21 số này mà 2 số này cùng số dư khi chia cho 20.

Khi đó \({S_k} - {S_l}\) sẽ chia hết cho 20, mặt khác, \({S_k},{S_l} \in \left\{ {1,2, \ldots ,36} \right\}\) nên \({S_k} - {S_l} \in \left\{ {1,2, \ldots ,35} \right\}\) nên nó chỉ có thể bằng 20.

Mà \({S_k} - {S_l} = {a_{l + 1}} + {a_{l + 2}} + \ldots + {a_k} = 20\) cho nên từ ngày thứ \(l + 1\) dến ngày thứ \(k\) thì anh chơi đúng 20 trận và ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link