Biết \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt

Câu hỏi số 772788:

Thông hiểu

Biết \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x}\). Giá trị của biểu thức \(T = x_1^2 + x_2^2\) bằng

A. \(9\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(13\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:772788

Phương pháp giải

Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt \(t = {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x},t > 0 \Rightarrow {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{t}\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \({\left( {3 + \sqrt 5 } \right)^x} + {\left( {3 - \sqrt 5 } \right)^x} = {3.2^x} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} - 3 = 0\) (1)

Đặt \(t = {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^x},t > 0 \Rightarrow {\left( {\dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^x} = \dfrac{1}{t}\).

Khi đó (1) trở thành: \(t + \dfrac{1}{t} - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\t = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\,\,\,\).

Vậy \(T = x_1^2 + x_2^2 = {1^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 2\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.