Cho bất phương trình \(\log _2^2x - 2\left( {m + 2} \right){\log _2}x + {m^2} + 4m \le 0\,\,\left( * \right)\).

Câu hỏi số 772789:

Thông hiểu

Cho bất phương trình \(\log _2^2x - 2\left( {m + 2} \right){\log _2}x + {m^2} + 4m \le 0\,\,\left( * \right)\). Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {2;4} \right]\) là

A. \(2\).

B. \(3\).

C. \(1\).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:772789

Phương pháp giải

Biện luận theo m bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ: Đặt \(t = {\log _2}x\). Để \(x \in \left[ {2;4} \right]\) thì \(t \in \left[ {1;2} \right]\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\). Để \(x \in \left[ {2;4} \right]\) thì \(t \in \left[ {1;2} \right]\).

Khi đó (*) trở thành: \({t^2} - 2\left( {m + 2} \right)t + {m^2} + 4m \le 0\).

Để (*) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ {2;4} \right]\) thì bất phương trình \({t^2} - 2\left( {m + 2} \right)t + {m^2} + 4m \le 0\) nghiệm đúng \(\forall t \in \left[ {1;2} \right]\).

Xét tam thức bậc hai \(f\left( t \right) = {t^2} - 2\left( {m + 2} \right)t + {m^2} + 4m\) có

\(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {{m^2} + 4m} \right) = 4 > 0\) nên \(f\left( t \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt là

\({x_1} = \dfrac{{m + 2 - 2}}{1} = m;{x_2} = \dfrac{{m + 2 + 2}}{1} = m + 4 > {x_1}\).

Vì \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng xét dấu \(f\left( t \right)\):

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

\({t^2} - 2\left( {m + 2} \right)t + {m^2} + 4m \le 0,\forall t \in \left[ {1;2} \right] \Leftrightarrow f\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ {1;2} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\m + 4 \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le 1\).

Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.