Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất

Câu hỏi số 776564:

Vận dụng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất \(8000\) quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất \(30\) quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là \(200\) nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là \(192\) nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776564

Phương pháp giải

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy) Điều kiện \(x > 0\).

Từ đó biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM.

Giải chi tiết

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy) Điều kiện \(x > 0\).

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là \(30x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(8000\) quả bóng là \(\dfrac{{8000}}{{30x}}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(192\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(200\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

\(B = 200000x + \dfrac{{8000}}{{30x}}.192000 = 200000x + \dfrac{{51200000}}{x}\) (đồng).

Ta chứng minh bất đẳng thức sau \(a + b \ge 2\sqrt {ab} ,\forall a,b > 0\) ( Bất đẳng thức AM-GM )

\(\begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\{\left( {a + b} \right)^2} \ge {\left( {2\sqrt {ab} } \right)^2}\\{a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\\{a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\\{\left( {a - b} \right)^2} > 0,\forall a,b > 0\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương \(200000x\) và \(\dfrac{{51200000}}{x}\), ta được

\(200000x + \dfrac{{51200000}}{x} \ge 2\sqrt {200000x.\dfrac{{51200000}}{x}} = 6400000\).

Dấu "=" xảy ra khi \(200000x = \dfrac{{51200000}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow x = 16\) (nhận) hay \(x = - 16\) (loại).

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(16\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link