Cho hình thang \(ABCD\) có cạnh đáy \(AB,\,\,CD\). Gọi \(O\) là giao của 2 đường chéo. Qua \(O\) kẻ

Câu hỏi số 776598:

Vận dụng

Cho hình thang \(ABCD\) có cạnh đáy \(AB,\,\,CD\). Gọi \(O\) là giao của 2 đường chéo. Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD,\,\,BC\) tương ứng tại \(M,\,\,N\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{AB}} + \dfrac{1}{{CD}} = \dfrac{2}{{MN}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776598

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí Thales để chứng minh \(OM = ON\)

- Sử dụng \(MN = 2OM\) đưa về chứng minh \(\dfrac{{OM}}{{AB}} + \dfrac{{OM}}{{CD}} = 1\)

Giải chi tiết

Xét hình thang \(ABCD\) có \(MN\parallel AB\parallel CD\) có \(\dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{{BN}}{{BC}}\)

Xét \(\Delta ADC\) có \(OM\parallel DC\) nên \(\dfrac{{OM}}{{DC}} = \dfrac{{AM}}{{AD}}\)

Xét \(\Delta BDC\) có \(ON\parallel DC\) nên \(\dfrac{{ON}}{{DC}} = \dfrac{{BN}}{{BC}}\)

Do đó \(\dfrac{{OM}}{{DC}} = \dfrac{{ON}}{{DC}} \Rightarrow OM = ON\)

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(MN\)

Xét \(\Delta DAB\) có \(OM\parallel AB\) nên \(\dfrac{{OM}}{{AB}} = \dfrac{{DM}}{{DA}}\)

Ta có: \(\dfrac{{OM}}{{AB}} + \dfrac{{OM}}{{DC}} = \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{ON}}{{DC}} = \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{AM}}{{AD}} = 1\)

Suy ra \(\dfrac{1}{{AB}} + \dfrac{1}{{DC}} = \dfrac{1}{{OM}} = \dfrac{2}{{MN}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link