Cho hình thang \(ABCD\) có cạnh đáy \(AB,\,\,CD\). Gọi \(O\) là giao của 2 đường chéo. Qua \(O\) kẻ

Câu hỏi số 776598:

Vận dụng

Cho hình thang \(ABCD\) có cạnh đáy \(AB,\,\,CD\). Gọi \(O\) là giao của 2 đường chéo. Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD,\,\,BC\) tương ứng tại \(M,\,\,N\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{AB}} + \dfrac{1}{{CD}} = \dfrac{2}{{MN}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:776598

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí Thales để chứng minh \(OM = ON\)

- Sử dụng \(MN = 2OM\) đưa về chứng minh \(\dfrac{{OM}}{{AB}} + \dfrac{{OM}}{{CD}} = 1\)

Giải chi tiết

Xét hình thang \(ABCD\) có \(MN\parallel AB\parallel CD\) có \(\dfrac{{AM}}{{AD}} = \dfrac{{BN}}{{BC}}\)

Xét \(\Delta ADC\) có \(OM\parallel DC\) nên \(\dfrac{{OM}}{{DC}} = \dfrac{{AM}}{{AD}}\)

Xét \(\Delta BDC\) có \(ON\parallel DC\) nên \(\dfrac{{ON}}{{DC}} = \dfrac{{BN}}{{BC}}\)

Do đó \(\dfrac{{OM}}{{DC}} = \dfrac{{ON}}{{DC}} \Rightarrow OM = ON\)

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(MN\)

Xét \(\Delta DAB\) có \(OM\parallel AB\) nên \(\dfrac{{OM}}{{AB}} = \dfrac{{DM}}{{DA}}\)

Ta có: \(\dfrac{{OM}}{{AB}} + \dfrac{{OM}}{{DC}} = \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{ON}}{{DC}} = \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{{DM}}{{AD}} + \dfrac{{AM}}{{AD}} = 1\)

Suy ra \(\dfrac{1}{{AB}} + \dfrac{1}{{DC}} = \dfrac{1}{{OM}} = \dfrac{2}{{MN}}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.