Tìm $m$ để phương trình $\left( {\log_{2}x} \right)^{2} - \log_{2}x - 2025m = 0$ có hai nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 778290:

Vận dụng

Tìm $m$ để phương trình $\left( {\log_{2}x} \right)^{2} - \log_{2}x - 2025m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ và phương trình $9^{y} - m.3^{y} + \left( \sqrt{3} \right)^{7} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $y_{1},y_{2}$ sao cho các điểm $A\left( {x_{1};y_{1}} \right)$, $B\left( {x_{2};y_{2}} \right)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ thỏa mãn $OA\bot OB$.

A. $81 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

B. $\dfrac{82}{3}$.

C. $1$.

D. $9 + \sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:778290

Phương pháp giải

$\left. OA\bot OB\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{OA}.\overset{\rightarrow}{OB} = 0\Leftrightarrow x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} = 0 \right.$.

Giải chi tiết

Phương trình $\left( {\log_{2}x} \right)^{2} - \log_{2}x - 2025m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$

$\left. \Rightarrow\log_{2}x_{1} + \log_{2}x_{2} = 1\Leftrightarrow\log_{2}\left( {x_{1}x_{2}} \right) = 1\Leftrightarrow x_{1}x_{2} = 2 \right.$.

Ta có $\left. OA\bot OB\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{OA}.\overset{\rightarrow}{OB} = 0\Leftrightarrow x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} = 0\Leftrightarrow 2 + y_{1}y_{2} = 0\Leftrightarrow y_{1}y_{2} = - 2 \right.$ (1).

Phương trình $9^{y} - m.3^{y} + \left( \sqrt{3} \right)^{7} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $y_{1},y_{2}$

$\left. \Rightarrow 3^{y_{1}}.3^{y_{2}} = \left( \sqrt{3} \right)^{7}\Leftrightarrow 3^{y_{1}}.3^{y_{2}} = 3^{\dfrac{7}{2}}\Leftrightarrow y_{1} + y_{2} = \dfrac{7}{2} \right.$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $y_{1} = 4,y_{2} = \dfrac{- 1}{2}$ (giả sử $y_{1} > y_{2}$). Do đó $m = 3^{y_{1}} + 3^{y_{2}} = 3^{4} + 3^{\dfrac{- 1}{2}} = 81 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Thử lại thấy thỏa. Vậy $m = 81 + \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.