Đồ thị hàm số $f(x)$ có 4 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang. Hỏi đồ thị

Câu hỏi số 778297:

Vận dụng

Đồ thị hàm số $f(x)$ có 4 đường tiệm cận đứng và 1 đường tiệm cận ngang. Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = f(x).\dfrac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{3} - 8}$ có tối đa bao nhiêu đường tiệm cận (cả đứng lẫn ngang)?

A. $5$.

B. $8$.

C. $6$.

D. $7$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:778297

Phương pháp giải

Đường thẳng $y = a$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ khi và chỉ khi $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}f(x) = a$ hoặc $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}f(x) = a$.

Đường thẳng $x = a$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ khi và chỉ khi một trong các điều sau xảy ra: $\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x) = + \infty$, $\lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x) = - \infty$,$\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x) = + \infty$, $\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x) = - \infty$.

Giải chi tiết

Ta có: $\left. x^{3} - 8 = 0\Leftrightarrow x = 2 \right.$; $\dfrac{\sqrt{x^{10} - 1}}{x^{3} - 8} = \dfrac{\left| x^{5} \right|\sqrt{1 - \dfrac{1}{x^{10}}}}{x^{3}\left( {1 - \dfrac{8}{x^{3}}} \right)}$.

Để đồ thị hàm số $g(x)$ có số đường tiệm cận đứng và ngang là tối đa thì:

+ Các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $f(x)$ không trùng với đường thẳng $x = 2$. Khi đó, đồ thị hàm số $g(x)$ có 5 đường tiệm cận đứng.

+ Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $g(x)$ phải là 2. Ta có thể chỉ ra một trường hợp thỏa mãn điều đó như sau: $f(x)$ có dạng phân thức, bậc tử bé hơn bậc mẫu 2 đơn vị. Khi đó, đồ thị hàm số $f(x)$ đảm bảo có đúng 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$. Đồng thời, lúc này $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty}g(x) = c$ và $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}g(x) = - c$, với $c$ là một giá trị hữu hạn nên đồ thị hàm số $g(x)$ có 2 đường tiệm cận ngang.

Tóm lại, đồ thị hàm số $g(x)$ có số đường tiệm cận đứng và ngang là tối đa 7.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.