Xét các số thực dương $a,b$ thoả mãn $\log_{2}\dfrac{1 - ab}{a + b} = 2ab + a + b - 3$. Mỗi phát biểu
Xét các số thực dương $a,b$ thoả mãn $\log_{2}\dfrac{1 - ab}{a + b} = 2ab + a + b - 3$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
| Đúng | Sai | |
|---|---|---|
| a) $a + b = 1 - ab$. | ||
| b) $P = a + b$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $a = 2 - b = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$. | ||
| c) Giá trị nhỏ nhất của $P = a + b$ bằng $- 1 + \sqrt{5}$. |
Đáp án đúng là: S; S; Đ
Quảng cáo
Đưa về hàm đặc trưng
Điều kiện $\left. 1 - ab > 0\Leftrightarrow ab < 1 \right.$.
Ta có $\log_{2}\dfrac{1 - ab}{a + b} = 2ab + a + b - 3$
$\left. \Leftrightarrow\log_{2}\left( {1 - ab} \right) - \log_{2}\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right) - 2\left( {1 - ab} \right) - 1 \right.$
$\left. \Leftrightarrow\log_{2}\left( {1 - ab} \right) + 1 + 2\left( {1 - ab} \right) = \log_{2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right) \right.$
$\left. \Leftrightarrow\log_{2}2\left( {1 - ab} \right) + 2\left( {1 - ab} \right) = \log_{2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right).\,\,(1) \right.$.
Xét hàm số $f(t) = \log_{2}t + t$ với $t > 0$ có $f'(t) = \dfrac{1}{t.\ln 2} + 1 > 0,\forall t > 0$ nên hàm số $f(t) = \log_{2}t + t$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty} \right)$.
Ta có (1)$\left. \Leftrightarrow f2\left( {1 - ab} \right) = f\left( {a + b} \right)\Leftrightarrow 2\left( {1 - ab} \right) = a + b \right.$
$\left. \Leftrightarrow 2 - a = b\left( {2a + 1} \right)\Leftrightarrow b = \dfrac{2 - a}{2a + 1} \right.$
Do $\left. a,b > 0\Rightarrow\dfrac{2 - a}{2a + 1} > 0\Leftrightarrow 0 < a < 2 \right.$.
Khi đó $P = a + b = a + \dfrac{2 - a}{2a + 1} = \dfrac{2a^{2} + 2}{2a + 1}$
Xét hàm $\left. g(a) = \dfrac{2a^{2} + 2}{2a + 1}\Rightarrow g'(a) = \dfrac{4a^{2} + 4a - 4}{2a + 1)^{2}}\Rightarrow g'(a) = 0\Leftrightarrow a = \dfrac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}. \right.$
Bảng biến thiên
Vậy $P_{min} = \ - 1 + \sqrt{5}$.
Đáp án cần chọn là: S; S; Đ
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
