Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = - 2} \\ {u_{n} = 3u_{n - 1} - 1,\forall n

Câu hỏi số 779610:

Vận dụng

Cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = - 2} \\ {u_{n} = 3u_{n - 1} - 1,\forall n \geq 2} \end{array} \right.$. Cho biết $\lim\dfrac{u_{n}}{3^{n}} = \dfrac{k}{6}$. Giá trị của $k$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: -5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779610

Phương pháp giải

Từ dãy số tìm công thức tổng quát

Giải chi tiết

Xét số $a$ thoả mãn $\left. u_{n} - a = 3\left( {u_{n - 1} - a} \right),\forall n \geq 2\Leftrightarrow u_{n} = 3u_{n - 1} - 2a,\forall n \geq 2 \right.$.

Suy ra $\left. - 2a = - 1\Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \right.$.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = - 2} \\ {u_{n} - \dfrac{1}{2} = 3\left( {u_{n - 1} - \dfrac{1}{2}} \right),\forall n \geq 2} \end{array} \right.$.

Đặt $\left. v_{n} = u_{n} - \dfrac{1}{2}\Rightarrow v_{n - 1} = u_{n - 1} - \dfrac{1}{2},\forall n \geq 2 \right.$ và $v_{1} = u_{1} - \dfrac{1}{2} = - 2 - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{5}{2}$.

Khi đó dãy $\left( v_{n} \right)$ thoả mãn $\left\{ \begin{array}{l} {v_{1} = - \dfrac{5}{2}} \\ {v_{n} = 3v_{n - 1},\forall n \geq 2} \end{array} \right.$.

Ta thấy $\left( v_{n} \right)$ là cấp số nhân với $v_{1} = - \dfrac{5}{2}$, công bội $q = 3$, suy ra $v_{n} = - \dfrac{5}{2}.3^{n - 1},\forall n \geq 1$

Do đó $u_{n} = v_{n} + \dfrac{1}{2} = - \dfrac{5}{2}.3^{n - 1} + \dfrac{1}{2},\forall n \geq 1$.

Vậy $\left. \lim\dfrac{u_{n}}{3^{n}} = \lim\dfrac{- \dfrac{5}{2}.3^{n - 1} + \dfrac{1}{2}}{3^{n}} = \lim\left( {- \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{2.3^{n}}} \right) = - \dfrac{5}{6}\Rightarrow k = - 5 \right.$.

Đáp án cần điền là: -5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.