Cho hình vuông OABC cạnh bằng 8, điểm M nằm trong hình vuông sao cho khoảng

Câu hỏi số 779938:

Vận dụng

Cho hình vuông OABC cạnh bằng 8, điểm M nằm trong hình vuông sao cho khoảng cách từ M đến các cạnh OA, OC cùng bằng 3. Parabol $\left( P_{1} \right)$ đi qua các điểm O, A, M, Parabol $\left( P_{2} \right)$ đi qua các điểm O, C, M. Tính diện tích phần tô đậm (hình vẽ bên).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 95/3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779938

Phương pháp giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tia Ox trùng tia OA, tia Oy trùng tia OC.

Chia hình thành các phần diện tích, ứng dụng tích phân để tính diện tích từng phần.

Giải chi tiết

Cho hệ trục tọa độ Oxy sao cho tia Ox trùng tia OA, tia Oy trùng tia OC.

Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $\left( P_{1} \right),y = 0$;

$S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $\left( P_{2} \right),x = 0$;

$S_{3}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $\left( P_{1} \right)$ và $\left( P_{2} \right)$.

Từ hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = S_{OABC} - \left\lbrack {S_{1} + S_{2} - S_{3}} \right\rbrack$ (*)

Gọi phương trình $\left( P_{1} \right)$ là $y = ax^{2} + bx + c$.

Vì $\left( P_{1} \right)$ đi qua $O(0;0),M(3;3),A(8;0)$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {c = 0} \\ {9a + 3b + c = 3} \\ {64a + 8b + c = 0} \end{array} \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = - \dfrac{1}{5}} \\ {b = \dfrac{8}{5}} \\ {c = 0.} \end{array} \right. \right.$

Suy ra $y = - \dfrac{1}{5}x^{2} + \dfrac{8}{5}x$.

Ta thấy $\left( P_{1} \right)$ và $\left( P_{2} \right)$ đối xứng qua OM nên

$S_{1} = S_{2} = {\int_{0}^{8}\left( {- \dfrac{1}{5}x^{2} + \dfrac{8}{5}x} \right)}\text{d}x = \dfrac{256}{15}$

Gọi $S_{4}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $\left( P_{1} \right)$, $OM:y = x$, do tính chất đối xứng nên

$S_{3} = 2S_{4} = 2{\int_{0}^{3}\left\lbrack {\left( {- \dfrac{1}{5}x^{2} + \dfrac{8}{5}x} \right) - x} \right\rbrack}\text{d}x = \dfrac{9}{5}$

Thay vào (*) ta được $S = 64 - \left( {\dfrac{256}{15} + \dfrac{256}{15} - \dfrac{9}{5}} \right) = \dfrac{95}{3}$.

Đáp án cần điền là: 95/3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.