Cho \(x,y,k\) là các số nguyên dương sao cho số \(p = \dfrac{{{x^k}y}}{{{x^2} + {y^2}}}\)

Câu hỏi số 780208:

Vận dụng

Cho \(x,y,k\) là các số nguyên dương sao cho số \(p = \dfrac{{{x^k}y}}{{{x^2} + {y^2}}}\) là số nguyên tố. Tìm \(k\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780208

Giải chi tiết

Đặt \(\left( {x,y} \right) = d;x = {x_1}.d,y = {y_1}.d{\rm{\;}}\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) trong đó \(\left( {{x_1},{y_1}} \right) = 1\)

Ta có: \({x^k}y = p \cdot \left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow {d^{k - 1}} \cdot x_1^k \cdot {y_1} = p \cdot \left( {x_1^2 + y_1^2} \right)\).
Mà \({x_1}{y_1}\) nguyên tố cùng nhau với \(x_1^2 + y_1^2 \Rightarrow p:x_1^k \cdot {y_1}\)
Hiển nhiên \(k = 1\) không thoả mãn ( \(p \le \dfrac{1}{2}\) )

TH1: \({x_1} = 1;{y_1} = 1\).

Ta có: \(x = y \Rightarrow \dfrac{{{x^k}}}{2} = p \Rightarrow x = 2,k = 2,p = 2\).

TH2: \({x_1} = 1;{y_1} = p\).

Ta có: \(x = d;y = dp \Rightarrow \dfrac{{{d^{k + 1}}p}}{{{d^2} + {d^2}{p^2}}} = p \Rightarrow {d^{k + 1}} = {d^2} + {d^2}{p^2}\)
Với \({d^{k - 1}} = 1 + {p^2} \Rightarrow {p^2} = {d^{k - 1}} - 1 = \left( {d - 1} \right) \cdot \left( {{d^{k - 2}} + \ldots + 1} \right)\)
Nếu \(k = 2\) thì \({p^2} = d - 1\). Thay vào \((*)\) thoả mãn.
Nếu \(k \ge 3 \Rightarrow d - 1 < {d^{k - 2}} + \ldots + 1 \Rightarrow d - 1 = 1\) thì \(d = 2\) \( \Rightarrow {d^{k - 1}} - 1 \equiv 3\left( {{\rm{mod}}4} \right)\) vô lý vì \({p^2}\) là số chính phương.

TH3: \({x_1} = p;{y_1} = 1\).

Theo (*) không thoả mãn.
Vậy \(k = 2\) thỏa mãn đề

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.