Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 2 - Ngày 27-28/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \(2n - 1\) và \(3n + 1\) là

Câu hỏi số 780225:
Vận dụng

Tìm tất cả các số tự nhiên \(n\) sao cho \(2n - 1\) và \(3n + 1\) là các số chính phương và \(6n - 13\) là số nguyên tố.

Đáp án đúng là: 5

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:780225
Giải chi tiết

Ta thấy hiển nhiên \(n \ge 3\) (Vì nếu \(n < 3\) thì \(6n - 13 \le  - 1 < 0\) vô lý)

Đặt \(2n - 1 = {a^2},3n + 1 = {b^2}\)
Ta có: \(6n - 13 = 9\left( {2n - 1} \right) - 4\left( {3n + 1} \right) = 9{a^2} - 4{b^2} = \left( {3a - 2b} \right)\left( {3a + 2b} \right)\)

Mà \(6n - 13\) nguyên tố và \(3a + 2b > 3a - 2b,3a + 2b > 1\) nên:
\(3a - 2b = 1\) hay \(b = \dfrac{{3a - 1}}{2}\)
Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2n - 1 = {a^2}\left( 1 \right)}\\{3n + 1 = \dfrac{{{{(3a - 1)}^2}}}{4}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Từ (1) \( \Rightarrow n = \dfrac{{{a^2} + 1}}{2}\) thay vào (2) ta được: \(3.\dfrac{{{a^2} + 1}}{2} + 1 = \dfrac{{{{(3a - 1)}^2}}}{4}\)
Giải phương trình này ta được \(a =  - 1\) (Loại) hoặc \(a = 3\)
Với \(a = 3 \Rightarrow n = 5\) (thỏa mãn)
Vậy \(n = 5\)

 

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn