Số nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \sin 3x - \cos 3x = 2\) trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi

Câu hỏi số 786347:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \sin 3x - \cos 3x = 2\) trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) là?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:786347

Phương pháp giải

Chia hai vế cho 2.

Có \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \dfrac{\pi }{6},\quad \dfrac{1}{2} = \sin \dfrac{\pi }{6}\)

Sử dụng công thức lượng giác và đưa bài toán về giải phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

Ta có: \(a = \sqrt 3 ,b = - 1 \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\).

Chia hai vế phương trình cho 2 , ta được:

\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x - \dfrac{1}{2}\cos 3x = 1\)

\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos 3x\sin \dfrac{\pi }{6} = 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {3x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow 3x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3}(k \in \mathbb{Z})\)

Xét \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\), có

\(\begin{array}{l}\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{2\pi }}{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3} < \pi \Rightarrow \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{{2\pi }}{9} < k\dfrac{{2\pi }}{3} < \pi - \dfrac{{2\pi }}{9}\\ \Rightarrow \dfrac{5}{{12}} < k < \dfrac{7}{6}\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\)

Vậy trên khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\) phương trình có 1 nghiệm là: \(x = \dfrac{{8\pi }}{9}.\)

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.