Cho số phức z thỏa mãn z+i có một acgumen bằng một acgumen của z+ cộng với . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=|z+1|+|z+i|

Câu hỏi số 7870:

Cho số phức z thỏa mãn z+ $\sqrt{2}$ i có một acgumen bằng một acgumen của z+ $\sqrt{2}$ cộng với $\frac{\pi }{4}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T=|z+1|+|z+i|

A. T max= $\sqrt{3}$

B. T max=2 $\sqrt{5}$

C. T max=2 $\sqrt{3}$

D. T max= $\sqrt{5}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:7870

Giải chi tiết

Đặt z=x-yi. Khi đó z+ $\sqrt{2}$ i có một acgumen bằng một acgumen của z+ $\sqrt{2}$ cộng với $\frac{\pi }{4}$ nên $\frac{z+\sqrt{2}i}{z+\sqrt{2}}$ =r(cos $\frac{\pi }{4}$ +isin $\frac{\pi }{4}$ ) với r>0

Ta có $\frac{z+\sqrt{2}i}{z+\sqrt{2}}$ = $\frac{x+(y+\sqrt{2})i}{(x+\sqrt{2})+yi}$

= $\frac{[x+(y+\sqrt{2})i].[(x+\sqrt{2})-yi]}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}$

= $\frac{x(x+\sqrt{2})+y(y+\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}$ + $\frac{(x+\sqrt{2})(y+\sqrt{2})-xy}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}$ i

Suy ra

= $\frac{x(x+\sqrt{2})+y(y+\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}$ = $\frac{(x+\sqrt{2})(y+\sqrt{2})-xy}{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}$ >0

<=> $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2\\(x+2)^{2}+y^{2}\neq 0 \\x+y+\sqrt{2}>0 \end{matrix}\right.$

Ta có:

T=|z+1|+|z+i|= |(x+1)+yi|+|x+(y+1)i|

= $\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}$ + $\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}$

= $\sqrt{3+2x}$ + $\sqrt{3+2y}$

Áp dụng BĐT cô-si ta có:

T² ≤2(6+2x+2y) ≤2(6+2 $\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$ ) 20

Suy ra T≤ 2 $\sqrt{5}$ , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1

Vậy giá trị lớn nhất của T là 2 $\sqrt{5}$ , đạt khi z=1+i

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.