Bạn An dự định làm một chiếc hộp có dạng hình lăng trụ tam giác đều

Câu hỏi số 798697:

Vận dụng

Bạn An dự định làm một chiếc hộp có dạng hình lăng trụ tam giác đều sao cho thể tích của khối lăng trụ đó bằng $40\text{cm}^{3}$. Bạn An muốn sơn màu tất cả các mặt của chiếc hộp đó. Hỏi tổng diện tích cùa tất cả các mặt được sơn màu nhỏ nhất là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 77

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798697

Phương pháp giải

Gọi chiều cao và cạnh đáy của hình lăng trụ lần lượt là $h,x\left( {cm;h,x > 0} \right)$.

Khi đó: $\left. h.\dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4} = 40\Rightarrow h = \dfrac{160}{x^{2}\sqrt{3}}. \right.$

Vậy tổng diện tích các mặt được sơn là: $f(x) = 2.\dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4} + 3xh = \dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{2} + \dfrac{160\sqrt{3}}{x}.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $f(x).$

Giải chi tiết

Gọi chiều cao và cạnh đáy của hình lăng trụ lần lượt là $h,x\left( {cm;h,x > 0} \right)$.

Khi đó: $\left. h.\dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4} = 40\Rightarrow h = \dfrac{160}{x^{2}\sqrt{3}}. \right.$

Khi đó tổng diện tích các mặt được sơn là: $f(x) = 2.\dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4} + 3xh = \dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{2} + \dfrac{160\sqrt{3}}{x}.$

$\left. f'(x) = x\sqrt{3} - \dfrac{160\sqrt{3}}{x^{2}} = 0\Rightarrow x^{3}\sqrt{3} - 160\sqrt{3} = 0\Rightarrow x = \sqrt[3]{160}. \right.$

Khi đó: $f\left( \sqrt[3]{160} \right) \approx 77;f\left( {+ \infty} \right) = + \infty$

Vậy tổng diện tích các mặt là $77\left( {cm^{2}} \right)$.

Đáp án cần điền là: 77

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.