Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 12y + 6z + 24 = 0$.

Câu hỏi số 798696:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 12y + 6z + 24 = 0$. Xét hai điểm $M,N$ thuộc $(S)$ sao cho $MN = 8$ và $ON^{2} - OM^{2} = 112$. Hỏi khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798696

Phương pháp giải

Tìm tâm $I$ và bán kính của mặt cầu.

Thêm điểm $I$ vào $OM^{2} - ON^{2} = - 112$ để biến đổi vectơ.

Dựa vào giả thiết tìm được góc $\left( {\overset{\rightarrow}{OI},\overset{\rightarrow}{MN}} \right)$.

Tính $d(I,MN)$.

Giải chi tiết

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu.

Ta có mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 12y + 6z + 24 = 0$

$\left. \Rightarrow I(2; - 6; - 3),\mspace{6mu} R = 5 \right.$

Suy ra: $OI = \sqrt{2^{2} + {( - 6)}^{2} + {( - 3)}^{2}} = \sqrt{49} = 7$

Theo đề bài:

$ON^{2} - OM^{2} = 112$

$OM^{2} - ON^{2} = - 112$

Ta có: $\left. {(\overset{\rightarrow}{OI} + \overset{\rightarrow}{IM})}^{2} - {(\overset{\rightarrow}{OI} + \overset{\rightarrow}{IN})}^{2} = - 112\Rightarrow\overset{\rightarrow}{OI} \cdot \overset{\rightarrow}{NM} = - 56 \right.$

Lại có: $\left. OI \cdot MN \cdot \cos(\overset{\rightarrow}{OI},\overset{\rightarrow}{MN}) = - 56\Rightarrow 7 \cdot 8 \cdot \cos(\overset{\rightarrow}{OI},\overset{\rightarrow}{MN}) = - 56\Rightarrow\cos(\overset{\rightarrow}{OI},\overset{\rightarrow}{MN}) = - 1 \right.$

Suy ra: $d(O,MN) = d(I,MN) = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = 3$

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.